容斥原理 摘选各大神牛的理解

容斥原理是一种重要的组合数学方法，可以让你求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。

描述

       容斥原理可以描述如下：

         要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

例如：

1000以内6,7,8,9的倍数有多少个？答案是

1000div6+1000div7+1000div8+1000div9

-1000div(6*7)-1000div(6*8)-1000div(6*9)-1000div(7*8)-1000div(7*9)-1000div(8*9)

+1000div(6*7*8)+1000div(6*8*9)+1000div(7*8*9)

-1000div(6*7*8*9)

这是容斥原理的一个最简单的应用，类比这道题，Step3到4其实将每个数a的不重复约数记录了下来，有公共约数的四个数的方案要从ans中减去，多减的要加上

 

对于实际问题的应用

       容斥原理的理论需要通过例子才能很好的理解。

         首先，我们用三个简单的例子来阐释这个理论。然后会讨论一些复杂问题，试看如何用容斥原理来解决它们。

         其中的“寻找路径数”是一个特殊的例子，它反映了容斥问题有时可以在多项式级复杂度内解决，不一定需要指数级。

一个简单的排列问题

       由0到9的数字组成排列，要求第一个数大于1，最后一个数小于8，一共有多少种排列？

         我们可以来计算它的逆问题，即第一个元素<=1或者最后一个元素>=8的情况。

         我们设第一个元素<=1时有X组排列，最后一个元素>=8时有Y组排列。那么通过容斥原理来解决就可以写成：

       

         经过简单的组合运算，我们得到了结果：

         

         然后被总的排列数10!减，就是最终的答案了。

（0,1,2）序列问题

       长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？

         同样的，我们转向它的逆问题。也就是不出现这些数字的序列 不出现其中某些数字的序列。

         我们定义Ai(i=0…2)表示不出现数字i的序列数，那么由容斥原理，我们得到该逆问题的结果为：

           可以发现每个Ai的值都为2^n（因为这些序列中只能包含两种数字）。而所有的两两组合都为1（它们只包含1种数字）。最后，三个集合的交集为0。（因为它不包含数字，所以不存在）

        要记得我们解决的是它的逆问题，所以要用总数减掉，得到最终结果：

         

方程整数解问题

       给出一个方程：

       

         其中。

         求这个方程的整数解有多少组。

         我们先不去理会xi<=8的条件，来考虑所有正整数解的情况。这个很容易用组合数来求解，我们要把20个元素分成6组，也就是添加5块“夹板”，然后在25个位置中找5块“夹板”的位置。

         

         然后通过容斥原理来讨论它的逆问题，也就是x>=9时的解。

         我们定义Ak为xk>=9并且其他xi>=0时的集合，同样我们用上面的添加“夹板”法来计算Ak的大小，因为有9个位置已经被xk所利用了，所以：

         

         然后计算两个这样的集合Ak、Ap的交集：

         

         因为所有x的和不能超过20，所以三个或三个以上这样的集合时是不能同时出现的，它们的交集都为0。最后我们用总数剪掉用容斥原理所求逆问题的答案，就得到了最终结果：

         

求指定区间内与n互素的数的个数：

       给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。

         去解决它的逆问题，求不与n互素的数的个数。

         考虑n的所有素因子pi(i=1…k)

         在[1;r]中有多少数能被pi整除呢？它就是：

       

         然而，如果我们单纯将所有结果相加，会得到错误答案。有些数可能被统计多次（被好几个素因子整除）。所以，我们要运用容斥原理来解决。

         我们可以用2^k的算法求出所有的pi组合，然后计算每种组合的pi乘积，通过容斥原理来对结果进行加减处理。

         关于此问题的最终实现：

int solve (int n, int r) {

        vector<int> p;

        for (int i=2; i*i<=n; ++i)

               if (n % i == 0) {

                       p.push_back (i);

                       while (n % i == 0)

                               n /= i;

               }

        if (n > 1)

               p.push_back (n);

        int sum = 0;

        for (int msk=1; msk<(1<<p.size()); ++msk) {

               int mult = 1,

                       bits = 0;

               for (int i=0; i<(int)p.size(); ++i)

                       if (msk & (1<<i)) {

                               ++bits;

                               mult *= p[i];

                       }

               int cur = r / mult;

               if (bits % 2 == 1)

                       sum += cur;

               else

                       sum -= cur;

        }

        return r - sum;

}

代码返回的就是指定区间内与n互素的数的个数