Longest Increasing Subsequence

出自http://www.felix021.com/blog/read.php?1587


今天回顾WOJ1398,发现了这个当时没有理解透彻的算法。

看了好久好久,现在终于想明白了。
试着把它写下来,让自己更明白。

最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了,这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

代码如下:


int LIS( int d[], int n){
     int *B = new int[n];
     int left, right, mid, len = 1;
    B[0] = d[1]; //为了和上面的一致,我们从1开始计数吧:)
     for(i = 2; i <= n; ++i){
        left = 0, right = len;
         while(left <= right){
            mid = (left + right) / 2;
             if(B[mid] < d[i]) left = mid + 1; //二分查找d[i]的插入位置
             else right = mid - 1;
        }
        B[left] = d[i]; //插入
         if(left > len) len++; //d[i]比现有的所有数字都大,所以left 才会大于 len。
    }
     delete[] B;
     return len;
}


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