求二项式因子的算法

组合数C(n, k)的求法:

 

 

1. 浮点数迭代法

 

缺点: 当数比较大的时候, 可能结构不够精确.

使用公式

 

 

#include <iostream> using namespace std; int main() { long double n, k, ans; while(cin >> n >> k && (n || k)){ ans = 1; if(k > n/2) k = n - k; for(long double i=0; i<k; i++) ans *= (n-i)/(k-i); cout.precision(0); cout << fixed << ans << endl; } }

 

或:

 

#include <iostream> using namespace std; __int64 c(__int64 n, __int64 k) { if(k == 0 || n==k) return 1; else return c(n-1, k-1)*n/k; } int main() { __int64 n,k; while (scanf("%I64d%I64d", &n, &k)!=EOF && (n+k)) { if(2*k > n) k = n-k; printf("%I64d/n", c(n,k)); } return 0; }

 

 

 

2. 动态规划法

 

缺点: 对空间有较大的要求.

具体为:

 

n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

 

#define MAXSIZE 10000 long cnr(int n, int r) { long c[MAXSIZE]; int i, j; for (i = 0; i <= r; i++) c[i] = 1; for (i = 1; i <= n-r; i++) for (j = 1; j <= r; j++) c[j] += c[j-1]; return c[r]; }

 

 

.快速算法

 

还有一种快速算法, 在<<C语言名题精选百则>>上有所叙述.

下面展示一道题:

 

pku 3219 Binomial Coefficients

 

求C(n, k)的最后一位是0，还是1(即结果是奇数还是偶数).

这道题采用一步一步的优化的演示方法.

可以注意到k<=n<2^31, k,n如此之大, 肯定不能用上面的方法, 也不必用, 因为他只需要知道结构是奇数还是偶数.

那判断C(n,k) = A(n,k)/A(k,k)的分母分子个含有2这个因子的个数的多少,相减即可.

 

#include <iostream> using namespace std; //方法一: //利用c(n, k) = c(n-1,k-1)+c(n-1,k)的原始方法 //int c(int n, int k) //{ // if(k==0 || n==k) // return 1; // else // return (c(n-1,k-1)+c(n-1,k))&1; //} //奇(1)*奇(1)=奇(1), 偶(0)*奇(1)=偶(0), 偶(0)*偶(0)=偶(0) [求积为&] //奇(1)+奇(1)=偶(0), 偶(0)+奇(1)=奇(1), 偶(0)+偶(0)=偶(0) [求和为^] //方法二: //利用c(n, k) = ∑c(k,i)*c(n-k, i) (i∈[0, k], 且n>=2*k)的快速求组合数算法 //int c(int n, int k) //{ // if(k == 0 || k == n) // return 1; // // if(2*k > n) // k = n-k; // int ret = 1; // for(int i = 1; i <= k; ++i) // ret ^= c(k, i)&c(n-k, i); // return ret; //} //方法三: //利用C(n,k) = A(n,k)/A(k,k), 求分子和分母因子2的个数的方法. int cal(int n) { int cnt = 0; int c = 2; while(n) { n >>= 1; cnt += n; } return cnt; } int main() { unsigned int n, k; while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF) { if(k == 0 || n == k) { printf("1/n"); continue; } if(2*k > n) k = n-k; int cnt1 = cal(n); int cnt2 = cal(n-k); int cnt3 = cal(k); printf("%d/n", (cnt1-cnt2)>cnt3?0:1); } return 0; }