网络最大流算法之Ford_Fullkerson方法，EK算法c++模板

文章参考：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/23339111

该算法最精华的部分是反向边的理解，

即修改容量的时候为什么反向边加上该值，

    c[pre[i]][i]-=_min;
    c[i][pre[i]]+=_min;
            

参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6cf509db0100uy5n.html

在算法导论中对求解最大流问题给出了一般性的解决方法，但并没有涉及到具体的实现。在这里我还是重新的对求解最大流的思想进行一般性的描述，然后再给出具体的实现。

      Ford-Fulkerson方法依赖于三种重要思想，这三个思想就是在上一篇网络流基础中提到的：残留网络，增广路径和割。Ford-Fulkerson方法是一种迭代的方法。开始时，对所有的u，v∈V有f(u,v)=0，即初始状态时流的值为0。在每次迭代中，可通过寻找一条“增广路径”来增加流值。增广路径可以看成是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出来，根据最大流最小割定理，当不包含增广路径时，f是G中的一个最大流。在算法导论中给出的Ford-Fulkerson实现代码如下：

     FORD_FULKERSON(G,s,t)
     1   for each edge(u,v)∈E[G]
     2        do f[u,v] <— 0
     3            f[v,u] <— 0
     4   while there exists a path p from s to t in the residual network Gf
     5        do cf(p) <— min{ cf(u,v) : (u,v) is in p }
     6        for each edge(u,v) in p
     7             do f[u,v] <— f[u,v]+cf(p)         //对于在增广路径上的正向的边，加上增加的流
     8                  f[v,u] <— -f[u,v]                //对于反向的边，根据反对称性求

     第1~3行初始化各条边的流为0，第4~8就是不断在残留网络Gf中寻找增广路径，并沿着增广路径的方向更新流的值，直到找不到增广路径为止。而最后的最大流也就是每次增加的流值cf(p)之和。在实际的实现过程中，我们可以对上述代码做些调整来达到更好的效果。如果我们采用上面的方法，我们就要保存两个数组，一个是每条边的容量数组c，一个就是上面的每条边的流值数组f，在增广路径中判断顶点u到v是否相同时我们必须判断c[u][v]-f[u][v]是否大于0，但是因为在寻找增广路径时是对残留网络进行查找，所以我们可以只保存一个数组c来表示残留网络的每条边的容量就可以了，这样我们在2~3行的初始化时，初始化每条边的残留网络的容量为G的每条边的容量（因为每条边的初始流值为0）。而更新时，改变7~8行的操作，对于在残留网络上的边(u,v)执行c[u][v]-=cf(p)，而对其反向的边(v,u)执行c[v][u]+=cf(p)即可。

      现在剩下的最关键问题就是如何寻找增广路径。而Ford-Fulkerson方法的运行时间也取决于如何确定第4行中的增广路径。如果选择的方法不好，就有可能每次增加的流非常少，而算法运行时间非常长，甚至无法终止。对增广路径的寻找方法的不同形成了求最大流的不同算法，这也是Ford-Fulkerson被称之为“方法”而不是“算法”的原因。下面将给出Ford-Fulkerson方法的具体实现细节：

int c[MAX][MAX];  //残留网络容量
int pre[MAX];  //保存增广路径上的点的前驱顶点
bool visit[MAX];

int Ford_Fulkerson(int src,int des,int n){   //src：源点 des：汇点 n：顶点个数
     int i,_min,total=0;
     while(true){
         if(!Augmenting_Path(src,des,n))return total; //如果找不到增广路就返回，在具体实现时替换函数名
         _min=(1<<30);
         i=des;
         while(i!=src){   //通过pre数组查找增广路径上的边，求出残留容量的最小值
             if(_min>c[pre[i]][i])_min=c[pre[i]][i];
             i=pre[i];
         }
         i=des;
         while(i!=src){    //再次遍历，更新增广路径上边的流值
             c[pre[i]][i]-=_min;
             c[i][pre[i]]+=_min;
             i=pre[i];
         }
         total+=_min;     //每次加上更新的值
     }
}

Edmonds-Karp算法实际上就是采用广度优先搜索来实现对增广路径的p的计算，代码如下：

bool Edmonds_Karp(int src,int des,int n){
     int v,i;
     for(i=0;i<n;i++)visit[i]=false;
     front=rear=0;     //初始化
     que[rear++]=src;
     visit[src]=true;
     while(front!=rear){     //将源点进队后开始广搜的操作
         v=que[front++]; 
         //这里如果采用邻接表的链表实现会有更好的效率，但是要注意(u,v)或(v,u)有任何一条
         //边存在于原网络流中，那么邻接表中既要包含(u,v)也要包含(v,u)
         for(i=0;i<n;i++){ 
             if(!visit[i]&&c[v][i]){  //只有残留容量大于0时才存在边
                 que[rear++]=i;
                 visit[i]=true;
                 pre[i]=v;
                 if(i==des)return true;   //如果已经到达汇点，说明存在增广路径返回true
             }
         }
     }
     return false;
}

完整版代码，我觉得写得很清楚，可以用邻接表优化：

#include<iostream>
 #include<queue>
 using namespace std;
 const int maxn=205;
 const int inf=0x7fffffff;

int r[maxn][maxn]; //残留网络，初始化为原图
bool visit[maxn];
 int pre[maxn];
 int m,n;

bool bfs(int s,int t)  //寻找一条从s到t的增广路，若找到返回true
 {
     int p;
     queue<int > q;
     memset(pre,-1,sizeof(pre));
     memset(visit,false,sizeof(visit));

    pre[s]=s;
     visit[s]=true;
     q.push(s);
     while(!q.empty())
     {
         p=q.front();
         q.pop();
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
             if(r[p][i]>0&&!visit[i])
             {
                 pre[i]=p;
                 visit[i]=true;
                 if(i==t) return true;
                 q.push(i);
             }
         }
     }
     return false;
 }

int EdmondsKarp(int s,int t)
 {
    int flow=0,d,i;
    while(bfs(s,t))
    {
        d=inf;
        for(i=t;i!=s;i=pre[i])
            d=d<r[pre[i]][i]? d:r[pre[i]][i];
        for(i=t;i!=s;i=pre[i])
        {
            r[pre[i]][i]-=d;
            r[i][pre[i]]+=d;
        }
        flow+=d;
    }
    return flow;
 }


 int main()
 {
     while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
     {
         int u,v,w;
         memset(r,0,sizeof(r));///
         for(int i=0;i<m;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
             r[u][v]+=w;
         }
         printf("%d\n",EdmondsKarp(1,n));
     }
     return 0;
 }