Codeforces #275 Div 1 简要题解

比赛总结

这次比赛打得总算像样了。。。
做了A和B，都是wa了两次才ac，罚时有点惨
在正式和非正式选手里排名537名，在正式选手里排名450名

A. Diverse Permutation

题目链接

http://codeforces.com/contest/482/problem/A

题目大意

要你构造一个 1,2,...n 的排列 a[] ，使得最终 |a[i]−a[i+1]| 的互不相同的值恰好有 k 种

思路

显然， |a[i]−a[i+1]| 的互不相同的值最多时，构造的排列一定是
1 n 2 n−1 3 n−2 …

因此，我们可以先构造排列的前 K 个数字，这部分数字满足 1 n 2 n−1 3 n−2 …的特点，这样就出现了 K−1 种。然后剩下的部分，我们就单调递增或递减填入没填过的数字，这样就出现了第 K 种取值，也就是1

K=1 时特判下就好了

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 1100000

using namespace std;

int n,K;
int tot=0;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&K);
    if(K==1)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",i);
        printf("\n");
        return 0;
    }
    K--;
    int a=1,b=n+1;
    printf("1 ");
    int i=2;
    for(int t=1;t<=(K-1);t++,i++)
        printf("%d ",(i&1)?++a:--b);
    bool flag=(i&1)?true:false;
    for(;i<=n;i++)
        if(flag) printf("%d ",++a);
        else printf("%d ",--b);
    printf("\n");
    return 0;
}

B. Interesting Array

题目链接

http://codeforces.com/contest/482/problem/B

题目大意

要你构造一个长度为 n 的数列，满足 m 个要求。对于每个要求，要使得 [Li,Ri] 区间内的数列数字的与和为 val

思路

我们首先讨论 val≤1 的情况
注意到，一个区间内的数列数字的与和为 1 ，就必须满足这个区间里所有数字都是1，而一个区间内的数列数字的与和为 0 ，只需要满足这个区间里有一个数字是0即可。假设一个与和为1的区间 [Li,Ri] 和一个与和为0的区间 [L′i,R′i] 有交集，那么相交的那部分肯定是取1。

这个特点非常类似于或运算：重叠的那部分先是区间或了1，然后是区间或了0，最终得到了连续的一段1，于是问题转变为：给你一个初始全为0的序列，每次区间或某个数字，然后离线对每个询问检查一遍，每个询问对应的区间 [Li,Ri] 的与和是否为 val 。并且要输出最终的序列

这个问题非常简单，直接维护一个支持区间修改、区间查询的线段树即可。维护区间或的lazy tag、以及区间与和标记。最终遍历一遍线段树的所有叶子节点即可

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 110000

using namespace std;

int or_tag[MAXN<<2],andsum_tag[MAXN<<2]; //区间或标记，区间与和标记

void pushup(int o)
{
    andsum_tag[o]=andsum_tag[o<<1]&andsum_tag[o<<1|1];
}

void pushdown(int o)
{
    or_tag[o<<1]|=or_tag[o];
    andsum_tag[o<<1]|=or_tag[o];
    or_tag[o<<1|1]|=or_tag[o];
    andsum_tag[o<<1|1]|=or_tag[o];
    or_tag[o]=0;
}

void update(int o,int L,int R,int ql,int qr,int orval)
{
    if(ql<=L&&R<=qr)
    {
        andsum_tag[o]|=orval;
        or_tag[o]|=orval;
        return;
    }
    pushdown(o);
    int M=(L+R)>>1;
    if(ql<=M) update(o<<1,L,M,ql,qr,orval);
    if(qr>M) update(o<<1|1,M+1,R,ql,qr,orval);
    pushup(o);
}

int query(int o,int L,int R,int ql,int qr)
{
    if(ql<=L&&R<=qr)
    {
        return andsum_tag[o];
    }
    pushdown(o);
    int M=(L+R)>>1,ans=1; //mlgb!!!不能拿ans=1然后and答案，这样的话可能会错！
    if(qr<=M) return query(o<<1,L,M,ql,qr);
    if(ql>M) return query(o<<1|1,M+1,R,ql,qr);
    //cout<<"L: "<<L<<" R: "<<R<<" ans: "<<ans<<endl;
    return query(o<<1,L,M,ql,qr)&query(o<<1|1,M+1,R,ql,qr);
}

void print(int o,int L,int R)
{
    if(L==R)
    {
        printf("%d ",andsum_tag[o]);
        return;
    }
    pushdown(o);
    int M=(L+R)>>1;
    print(o<<1,L,M);
    print(o<<1|1,M+1,R);
}

struct Query
{
    int L,R,val;
}querys[MAXN];

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&querys[i].L,&querys[i].R,&querys[i].val);
        update(1,1,n,querys[i].L,querys[i].R,querys[i].val);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(query(1,1,n,querys[i].L,querys[i].R)!=querys[i].val)
        {
            printf("NO\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("YES\n");
    print(1,1,n);
    return 0;
}

C. Interesting Array

题目链接

http://codeforces.com/contest/482/problem/C

题目大意

n个长为m的字符串，A会先从中随机选择一个串，让B去判断A选择的串是哪个串，每次B会随机地知道m位字母里未知的一位，问B确定答案的期望步数

思路

我们可以先预处理出 f[S]= 在 m 个下标中已经知道了集合 S 里的下标的概率，以及 cnt[S]= 在 m 个下标中已经知道了集合 S 里的下标，会找出多少个相同的字符串(只能找出一个字符串，就是0)。
答案就是 ∑f[S]cnt[S]n

为什么呢？假设A不是随机选取一个串，而是指定了一个串。假如当前B已知的字符的下标集合为 S ，若 cnt[S]=0 ，表明B同学不需要再询问了，直接结束，否则 cnt[S]>=2 ，会找出至少2个暂时看起来一样的字符串，B同学至少还需要再走一步，这样的话步数会+1，对期望步数的答案的贡献为 f[S]∗1

而如果A是指定了一个串呢？最终的期望步数就是 ∑ni=1指定第i个串的期望步数n ，我们可以直接利用上一段的做法来求出 ∑ni=1指定第i个串的期望步数 ： cnt[S]>=2 时，会找出至少2个暂时看起来一样的字符串，B同学至少还需要再走一步，这样的话，对于这 cnt[S] 个字符串，要将它们一一区分开来，每个字符串的判断步数都会+1，因此对期望步数之和的答案的贡献为 f[S]∗cnt[S]

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>

#define MAXN 60

using namespace std;

typedef long long int LL;

int n,m;
char s[MAXN][MAXN];
LL cnt[1<<22]; //cnt[S]=集合S里每个下标对应字母均相同的字符串集合
double f[1<<22]; //f[S]=已经知道了集合S里的下标对应位置的字母的概率

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%s",s[i]);
    m=strlen(s[0]);
    for(int i=0;i<n;i++) //这里重复枚举也没事，|运算重复一次的话结果不会改变
        for(int j=0;j<n;j++)
            if(i!=j)
            {
                int tmp=0;
                for(int k=0;k<m;k++)
                    if(s[i][k]==s[j][k])
                        tmp|=(1<<k);
                cnt[tmp]|=((LL)1<<(LL)j);
            }
    for(int S=(1<<m)-1;S>=0;S--) //cnt[S],cnt[S'],若S'是S子集，则cnt[S']|=cnt[S]
        for(int i=0;i<m;i++)
            if(S&(1<<i))
                cnt[S^(1<<i)]|=cnt[S];
    double ans=0;
    f[0]=1;
    for(int S=0;S<(1<<m);S++)
    {
        int tot=0; //tot=集合S里已经确定的下标个数
        for(int i=0;i<m;i++)
            if(S&(1<<i))
                tot++;
        for(int i=0;i<m;i++)
            if(!(S&(1<<i)))
            {
                f[S|(1<<i)]+=f[S]/(m-tot);
            }
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(cnt[S]&((LL)1<<(LL)i))
                ans+=f[S];
    }
    printf("%.10lf\n",ans/(double)n);
    return 0;
}