利用等概率Rand5产生等概率Rand3

问题本身很明确，但不知道起个什么题目好，姑且先这么说吧。

问题描述：现在有一个叫做Rand5的函数，可以生成等概率的[0, 5)范围内的随机整数，要求利用此函数写一个Rand3函数（除此之外，不能再使用任何能产生随机数的函数或数据源），生成等概率的[0, 3)范围内的随机整数。

我第一次遇到这个问题的时候，着实犯了一回傻，自以为是地证明了这个题目是无解的。其实从概率的角度来看，题目的要求就是，利用一个1/5的概率源，通过某种方式产生出1/3的概率输出。我们都知道，概率运算法则有加法和乘法，而在我的记忆中，算法是“在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则”，算法的一个重要特征就是有穷性，即一个算法必须保证执行有限步之后结束。那么有限多个1/5通过加法和乘法是不可能的到1/3这个数值的，因为加法和乘法都不会给分母带来新的因子，那么分母中的3根本就不可能出现。

然而我忽略了这样一个式子：

∑∞i=0(25)i=11−25=53

基于这个想法，我们来看看这个算法是什么样子的：

Python:

   
   
   
   

    
    
    
    
 
     
 
      
 
       
 
        

          1 
         
2 
         
3 
         
4 
         
5 
         
 
        
 
       
 
        
 
         def Rand3 
         ( 
         ): 
         
  x  
         = - 
         1 
         
   
         while not  
         0  
         <= x  
         <  
         3: 
         
    x  
         = Rand5 
         ( 
         ) 
         
   
         return x 
        
 
      
 
     
 
    
   
   
   
   

C++:

   
   
   
   

    
    
    
    
 
     
 
      
 
       
 
        

          1 
         
2 
         
3 
         
4 
         
5 
         
6 
         
7 
         
8 
         
9 
         
 
        
 
       
 
        
 
         int Rand3 
         ( 
         ) 
         
 
         { 
         
     
         int x 
         ; 
         
     
         do 
         
     
         { 
         
        x  
         = Rand5 
         ( 
         ) 
         ; 
         
     
         }  
         while  
         (x  
         >=  
         3 
         ) 
         ; 
         
     
         return x 
         ; 
         
 
         } 
        
 
      
 
     
 
    
   
   
   
   

算法很简单，x是我们最终要输出的数字，只要它不在[0, 3)范围内，就不断地调用Rand5来更新它。直观地看，算法输出的数字只有0、1、2这三个，而且对任何一个都没有偏袒，那么显然每个数字的概率都是1/3，那让我们来严格地计算一下。

以输出0为例，看看概率是多少。x的第一个有效数值是通过Rand5得到的。Rand5返回0的概率是1/5，如果这事儿发生了，我们就得到了0，否则只有当Rand5返回3或4的时候，我们才有机会再次调用它来得到新的数据。第二次调用Rand5之后，又是有1/5的概率得到0，2/5的概率得到3或4导致循环继续执行下去，如此反复。因此概率的计算公式为：

p=====15+25×(15+25×(15+25×(⋯)))15×∑∞i=0(25)i15×11−2515×5313

喏，计算表明，Rand3输出0的概率确实是1/3，对于另外两个数字也是一样的。

那么这段代码是不是一个算法呢，它是否满足算法的有穷性呢？我不能确定，虽然它不停机的概率是0，然而这个概率是一个极限值，唉，回去复习极限知识先。

改变一下题目，如果要求利用Rand5编写Rand7怎么办？很简单，用两个Rand5可以拼出Rand25，然后就用前面的方法即可：

Python:

   
   
   
   

    
    
    
    
 
     
 
      
 
       
 
        

          1 
         
2 
         
3 
         
4 
         
5 
         
 
        
 
       
 
        
 
         def Rand7 
         ( 
         ): 
         
  x  
         = - 
         1 
         
   
         while not  
         0  
         <= x  
         <  
         21: 
         
    x  
         = Rand5 
         ( 
         ) *  
         5 + Rand5 
         ( 
         ) 
         
   
         return x %  
         7 
        
 
      
 
     
 
    
   
   
   
   

C++:

   
   
   
   

    
    
    
    
 
     
 
      
 
       
 
        

          1 
         
2 
         
3 
         
4 
         
5 
         
6 
         
7 
         
8 
         
9 
         
 
        
 
       
 
        
 
         int Rand7 
         ( 
         ) 
         
 
         { 
         
     
         int x 
         ; 
         
     
         do 
         
     
         { 
         
        x  
         = Rand5 
         ( 
         )  
         *  
         5  
         + Rand5 
         ( 
         ) 
         ; 
         
     
         }  
         while  
         (x  
         >=  
         21 
         ) 
         ; 
         
     
         return x  
         %  
         7 
         ; 
         
 
         }