深入理解模拟退火算法（Simulated Annealing)

本文将对模拟退火算法（Simulated Annealing)进行介绍，深入理解这个算法。

模拟退火算法和上一篇文章随机模拟算法中的Metropolis算法有着紧密的联系，在这里将详细探讨这种关系。

我们先从这个算法要解决的问题出发，逐步引出相应的算法。（pku， sewm，shinning）

一. 问题

人们经常遇到这样的问题：在某个定义域S内，求某个函数f(x)的最小值，形式化为Min f(x)，x属于S。这是一个优化问题，根据f(x)的形式不同，有很多的优化算法来解决这类问题，简单的有穷举法（适用于定义域小的情况），图解法，数学分析法（求导数法）等精确算法，如果很难精确求得，还有很多的近似求解法，如贪心法（如爬山法，最速下降法，梯度下降法），随机模拟方法（MCMC等）。本文将介绍的模拟退火方法属于随机模拟方法，但是是可以求得精确解的（概率为1求得全局优化解），神奇吧！

二. 算法的基本思想

那怎么求解f(x)的最小值呢？它的思想是利用Gibbs分布：S中的一个点x的概率满足分布：p(x, T) = EXP(-f(x)/T)/Z，Z是归一化因子。现在假设T-> 0，可以看到f(x)越小，p(x,T)越大，意味着f(x)以非常大的概率取得最小值，这就是基本思想。现在是怎么操作的问题，这个分布是确定的，T已知，f(x)的表达式已知（对一个值，就是可以计算出来量），p(x,T)这个分布的形式就已知了，这时候我们利用Metropolis模拟算法去对这个分布抽样，在样本中，出现最多的非常有可能就是我们要求的最小值。似乎问题都解决了，然而如果直接把T设为很小，这个算法的计算时间太长了，因为S可能太大！不实用！

因此，我们采用了层层推进的办法，我们先把T设为一个较大的值Ti，然后在这个Ti的情况下采样，这个时候由于约束条件的限制，p(x，Ti)的定义域只是S的子集，因此速度较快，在采样分布稳定之后，再通过一个T的控制函数g(Ti, Tj)（是一个单调不增函数，T>=0）得到一个更小的Tj，然后在Tj的情况下，再对分布p(x, Tj)采样，直到达到稳定分布，我们可以知道这个时候f(x)比起Ti时候的f(x)变得更加小了，直到达到较小T的时候（自己设定）我们可以认为达到了优化解的情况。

三.模拟退火算法（simulated annealing)

在这一节，我们把算法总结在这里：

设定起始值T0，T的控制函数g(Ti, Tj)

while(T还没有达到我们设定的最小值）

{

     对这时的T情况下的Gibbs分布p(x, T)用Metropolis模拟算法进行采样x(t)，直到达到稳定状态为止, 然后进入下一次循环（这句话的伪代码描述见下面）

}

循环中对p(x,T)进行Metropolis采样的算法我们放在这里，它也是一个循环

已知T，当前的样本x(t)(来自上一次循环的最后一个样本)，建议分布h(x(t), x(t+1))

while(未达到稳定状态）

{

    先抽取一个建议样本y ~ h(x(t), x(t+1))

    if( f(y) < f(x(t) )  { 令x(t+1) = y; }

   else

    { 

       令a = min{1， p(x(t+1), T)/p(x(t), T)};

        然后抽取u ~ Uniform(0, 1);

        if( u < a) {x(t+1) = y};

        else { x(t+1) = x(t) };

     }

}

上面这个循环完全就是Metropolis算法，详细的解释可以看我的上一篇文章： 模拟计算。

（pku， sewm，shinning）

至于，这个算法的名字：模拟退火，来自于我们这个过程和物理学中打造钢铁时候的加热-等温-降温过程，这里的T为温度，f(x)可以令为能量，上述的Metropolis过程就相当于等温过程，p(x, T)就是在T时候系统所处状态的概率分布，可以明显的看到，这个概率与系统的能量和温度密切相关，大部分的资料都是先将这个物理过程，然后再讲算法本身，如果人们不熟悉这个物理过程，简单的介绍反而会使得大家对这个算法搞不清楚。因此，本文为了叙述清楚，没有描述这个过程，反而更加的清楚！

（pku， sewm，shinning）