二分图博弈

Abstract

本文要讨论的是一类博弈问题，基于以下条件：

1.博弈者人数为两人，双方轮流进行决策。
2.博弈状态（对应点）可分为两类（状态空间可分为两个集合），对应二分图两边（X集和Y集）。任意合法的决策（对应边）使状态从一类跳转到另一类。（正是由于这个性质使得问题可以用二分图描述）
3.不可以转移至已访问的状态。（不可重复访问点）
4.无法转移者判负。

 

Body

作者水平有限，欢迎指正。 

本文要讨论的是一类博弈问题，基于以下条件：

1.博弈者人数为两人，双方轮流进行决策。
2.博弈状态（对应点）可分为两类（状态空间可分为两个集合），对应二分图两边（X集和Y集）。任意合法的决策（对应边）使状态从一类跳转到另一类。（正是由于这个性质使得问题可以用二分图描述）
3.不可以转移至已访问的状态。（不可重复访问点）
4.无法转移者判负。

这类问题相当于从二分图指定起点开始轮流移动，不可重复访问点，无法移动判负 。

 

Problem Sample1:
一个n*n的方格，A，B交替摆放棋子，A先从最角落一个方格内放置，下一个人放棋子只能在当前位置的相邻位置（上下左右）放置，放过的格子就不能再放了，如果没得放了就算输了。

把问题一般化，考虑一个一般的棋盘（可以奇形怪状，但要求联通），从某一个位置开始放置。将棋盘黑白染色（像国际象棋棋盘那样），则状态可分为两类（棋子在白格与棋子在黑格）。把每个格子和周围4个相邻格连边（边界的格可能只有2或3个相邻格），则黑格只与白格连边，白格只与黑格连边，每次转移（放置）肯定是从黑到白或从白到黑，因此图是一个二分图。无法继续转移则判负。

Problem Sample2:
在n*m的矩阵上有两个相同的棋子，有些格子是不能走的。现在两个人开始轮流对棋子操作：每次只能将其中一颗棋子向四个方向移动一格，不能移出边界，谁将两个棋子重合谁将胜利；同时移动时不能出现前面移动时出现过的局面，不能移动的就算是失败了。

还是考虑一个一般的棋盘，同样黑白染色。如果先手面临两个棋子相邻的状况那么显然他就胜利了，因此我们把这个状态视为非法，即不允许有玩家转移到该状态（否则他一定输）。因此，现在考虑所有两个棋子不相邻的可能状态。两个棋子的所有状态看作点，可分为两类（棋子在同色/异色格），能够转移之间的状态连边，则图是一个二分图。无法继续转移则判负。

 

现在问题变为从二分图指定起点开始轮流移动，不可重复访问点，无法移动判负。
不妨设起点在二分图的X集中，那么先手只能从X集移动到Y集，后手只能从Y集移动到X集。一次游戏过程对应一条路径 。若最后停留在X集且无法移动则先手负，停留在Y集则后手负。
考虑该二分图的某个最大匹配。（注意可能存在多个匹配相同的最大匹配）
若起点s∈X不属于该最大匹配。则先手所转移到的点y∈Y一定属于最大匹配（否则s-y是一个匹配，与最大匹配矛盾）。后手沿着最大匹配的边走即可，终点t（指无法从t再走一步）一定不可能在Y集中（否则，若t在Y集中，s-...-t为一增广路，与最大匹配矛盾）。因此先手必败，后手必胜。
若起点s∈X属于该最大匹配。则将s从图中删除，再求图的最大匹配。若最大匹配数不变，则s还是不属于某最大匹配，先手必败。否则该图的任意最大匹配都包含s，则先手沿着最大匹配的边走即可，根据上面的分析，先手必胜。

 

现在来考察特例Problem Sample1。假设先手从某个虚拟起点s移动到角落。若n为偶数，显然最大匹配数为n^2/2，且可以找到一最大匹配使得s不属于最大匹配，则先手必败；若n为奇数，则最大匹配数为(n^2+1)/2（包含s的图可以用1x2的黑白方块密铺），且s一定属于最大匹配，则先手必胜。

Q.E.D.