欧拉函数的应用 : TOJ 3611 Calculation 2 && TOJ 3300 Euler Function

首先先说明欧拉函数:  在数论,对正整数n,欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目;

φ函数的值  通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数
φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

然后看一下模版吧;;

int eular(int n)
{
  int ret=1,i;
  for(i=2;i*i<=n;i++)
    if(n%i==0)
    {
      n/=i,ret*=i-1;
      while(n%i==0)
      n/=i,ret*=i;
    }
  if(n>1)
    ret*=n-1;
  return ret;
}

这个模板是求出某个数的欧拉函数值;

下面的模板是打表求出N以内的欧拉函数的值;

void Eluar ()
{phi=(int*)malloc((N+1)*sizeof(int));
for(inti=1;i<=N;i++)
phi[i]=i;
for(inti=2;i<=N;i++)
if(prime[i])
for(intj=i;j<=N;j+=i)
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//此处注意先/i再*(i-1),否则范围较大时会溢出
}

TOJ 3611

再反过来说这道题, 让求的是小于n的与n不互质的和; 我们可以用总和 减去 与n互质的数,即可;   首先假设 a 与n 互质,,则n-a 也就与其互质; 那么 即可说明,elur(n) 是偶数 ,然后成对出现的,每对的和是n ;所以与n 互质的数的和就是 : elur(n) *n/2;

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	
	static int Elur (long n)
	{
        int elue=1;
		for(int i=2; i*i<=n;i++)
        {
        	if(n%i==0)
        	{
        		n/=i;
        		elue*= i-1;
        		while(n%i==0)
        		{
        			n/=i;elue*=i;
        		}
        	}
        }
		if(n>1) elue*=n-1;
		return elue;
	}
	public static void main(String []args)
	{
		long   num;
		long  ans;
		Scanner  cin = new Scanner(System.in);
		while (cin.hasNext())
		{
			num =cin.nextInt();
			if(num==0) break;
			ans=num*(num-1)/2;
			ans-=Elur(num)*num/2;
			
			System.out.println(ans%1000000007);
		}
		
	}

}

再看3300 这个题意很明白,就是求区间内的欧拉函数的和; 由于数据量很大,需要打表了, 另外就是 最后的结果是long long 

代码如下:

#include <stdio.h>
#define Max 3000005
long long int  list[Max];
int main()
{
    for(int i=2;i<Max;i++) list[i]=i;
    for(int i=2;i<Max;i+=2) list[i]/=2;
    for(int i=3;i<Max;i+=2)
    {
        if(list[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<Max;j+=i)
                list[j]=list[j]/i*(i-1);
        }
    }
     int a,b;
     long long int sum;
     while(~scanf("%d%d",&a,&b))
     {
         sum=0;
         for(int i=a;i<=b;i++)
         {
             sum+=list[i];
         }
         printf("%lld\n",sum);
     }
}



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