【转】POJ 3922 A simple stone game

两人取一堆n个石子 先手不能全部取完 之后每人取的个数不能超过另一个人上轮取的数*K

给n，K判断先手必胜并求第一步

 

博弈题

这题的思考过程非常有意义。

当k=1的时候 可知必败局面都是2^i  将n分解成二进制，然后先手取掉最后一个1.然后对方必然无法去掉更高的1，而对方取完我方至少还能拿掉最后一个1 导致对方永远取不完。

当k=2的时候，必败局面都是斐波那契数列。利用“先手去掉最后一个1，则后手必不能去掉更高阶的1导致取不完”的思想，斐波那契数列有一个非常好的性质就是：任意一个整数可以写成斐波那契数列中的不相邻的项的和，于是将n写成这种形式，先取走最后一个1，对方能取的数是这个数*2，小于高2位的1，所以取不完。

 

当K的时候， 想办法构造数列，将n写成数列中一些项的和，使得这些被取到的项的相邻两个倍数差距>k 那么每次去掉最后一个1 还是符合上面的条件。设这个数列已经被构造了i 项，第 i 项为a[ i ]，前 i 项可以完美对1..b[ i ] 编码使得每个编码的任意两项倍数>K 那么有

a[ i+1 ] = b[ i ] + 1;这是显然的 因为b[ i ] + 1没法构造出来，只能新建一项表示

然后计算b[ i+1] 既然要使用 a[ i+1 ] 那么下一项最多只能是某个 a[ t ] 使得 a[ t ] * K < a[ i+1 ] 于是

b[ i +1] = b[ t ] + a[ i+1 ]

然后判断n是否在这个数列里面

如果在，那么先手必败。否则不停的减掉数列a中的项构造出n的分解，最后一位就是了。

#include <stdio.h>

#include <string.h>

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn=2000000;

int a[maxn],b[maxn];

int main()

{

         int n,k;

         int cas=0,cass;

         for (scanf("%d",&cass);cass--;)

         {

                   scanf("%d%d",&n,&k);

                   ++cas;

                   printf("Case %d: ",cas);

                   int i=0,j=0;

                   a[0]=b[0]=1;

                   while (a[i]<n)

                   {

                            i++;

                            a[i]=b[i-1]+1;

                            while (a[j+1]*k<a[i])

                                     j++;

                            if (a[j]*k<a[i])

                                     b[i]=a[i]+b[j];

                            else

                                     b[i]=a[i];

                   }

                   if (a[i]==n)

                            puts("lose");

                   else

                   {

                            int last=-1;

                            while (n)

                            {

                                     if (n>=a[i])

                                     {

                                               last=a[i];

                                               n-=a[i];

                                     }

                                     i--;

                            }

                            printf("%d\n",last);

                   }

         }

         return 0;

}