ACM 进阶学习第一课----同余相关之中国剩余定理

问题引入

"物不知数"问题：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

答曰:'二十三.'

术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得." 

 --孙子算经

当代解释

令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。
1、当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解。
2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。
3、正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．

问题分析

一、

"物不知数"问题的抽象表示:
x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)
求满足上述条件的最小正整数x

二、

"物不知数"解法的数学表示:
任取被3除余2的5和7的倍数:140
任取被5除余3的7和3的倍数:63
任取被7除余2的3和5的倍数:30
140+63+30=233
减去3,5,7的公倍数中不超过233的最大的数210得到答案23

三、问题归化

一般性问题:给定两两互质的正整数n1,n2,...,nk,要求找到最小的正整数a,满足a≡ai(mod ni)
将问题分解成若干次求解二元模线性方程组的解

算法步骤

令n=n1n2···nk，mi=n/ni
利用扩展欧几里德算法计算出xi满足mixi ≡ 1(mod ni),由于n1,n2,...,nk两两互质,必有gcd(mi,ni)=1,即可保证一定有解
则a≡a1x1m1 + a2x2m2 + ... + akxkmk (mod n)

典型应用

大整数的表示
选取两两互素的正整数n1,n2,...,nk
已知对每个ni取模的值ri,就可以唯一确定一个1~n1n2...nk的大整数
做大整数加,减,乘法时,只要保证在这个范围内,均可转化为分别对相应的余数进行计算

模板代码

/*****  ACM之中国剩余定理 ********/

/******** written by C_Shit_Hu ************/

////////////////扩展欧几里得算法的运用///////////////

/****************************************************************************/
/* 
由于VC下面无法使用cout或者cin输出64位的整数。
故改用printf.
*/
/****************************************************************************/

#include<iostream>
using namespace std;
typedef _int64 llong;
llong b[1000],w[1000];


// 扩展欧几里得算法
// 递归的形式
llong extended_euclid(llong a, llong b, llong &x, llong  &y) 
{
    llong d;
    if(b == 0) 
	{x = 1; y = 0; return a;}
	
    d = extended_euclid(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

// 中国剩余定理
llong chinese_remainder(int len) 
{ 
    llong i, d, x, y, m, n, ret;
    ret = 0; n = 1; 
    for(i=0; i < len ;i++) n *= w[i];
    for(i=0; i < len ;i++) 
	{ 
        m = n / w[i];
        d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
        ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
    }
    return (n + ret%n) % n;
}

int main()
{
    int  n,i;
    llong res;
	// 输入测试的除数和余数的组数
	cout << "输入测试的除数和余数的组数: " ;
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
		// 输入除数和余数
		cout << "输入余数和除数:" << endl;
        for(i=0;i<n;i++)  scanf("%I64d%I64d",&b[i],&w[i]);
        res=chinese_remainder(n);
		cout << "结果为：" ;
        printf("%I64d\n",res);
		cout << "输入测试的除数和余数的组数: " ;
    }
    return 0;
}

运行结果：

【未完待续】。。。。