数字信号处理中的变换,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。
傅里叶变换:是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
离散傅里叶变换:离散傅里叶变换(DFT),是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
拉普拉斯变换:
拉普拉斯变换是 工程数学中常用的一种 积分变换,又名
拉氏转换。拉氏变换是一个 线性变换,可将一个有引数实数
t(
t≥ 0)的函数转换为一个引数为复数
s的函数。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易,但若将实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解 线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的 代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对 控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用 传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程,以及提供控制系统调整的可能性。
Z变换(Z-transformation), 是对离散序列进行的一种数学变换。常用以求线性时不变差分方程的解。它在 离散时间系统
中的地位,如同 拉普拉斯变换
在连续时间系统中的地位。这一方法 ( 即 离散时间信号
的Z变换)已成为分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。在 数字信号处理
、计算机控制系统等领域有广泛的应用。
希尔伯特变换:在数学与信号处理的领域中,一个实值函数的希尔伯特变换(Hilbert transform)——在此标示为H——是将信号s(t)与1/(πt)做卷积,以得到s'(t)。因此,希尔伯特变换结果s'(t)可以被解读为输入是s(t)的线性时不变系统(linear time invariant system)的输出,而此系统的脉冲响应为1/(πt)。这是一项有用的数学,用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在通讯理论(应用方面的详述请见下文。)
离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换,它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换,这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数),在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型,其中4种是常见的)。