组合游戏总结——基本博弈问题

学习博弈已经好几天了，让人头疼的是所有的东西都要自己找，要学的东西只能通过不断的搜索，不断的深入才能查到好的资料，还好，到现在已经弄了不少了，分享一下我的资料吧，希望对大家有用，首先是张一飞，王晓珂，贾志豪的国家集训队论文，然后就是雅礼中学朱全民的ppt《“取石子游戏问题”的几种变形及其解法探讨》，这些在网上都很容易搜到，还有的就是深入理解sg值！！思路灵活，多多思考，不看完这些资料，我非常不建议你看着解题报告做题！！还有几个英文的网站讲博弈也挺好的，我英语不好没看，其他的我就不说了，只要百度就是大路边上的资料。

下面是我看到的非常好的一片文章，地址如下：http://www.cppblog.com/sdfond/archive/2010/02/06/107364.html

以后我自己多看看！！这里面提到的几个博弈模型我至今还没有看懂，继续加油吧！！

【博弈基本模型】
经典模型1：Nim变种。包括：
　　(1) 楼梯Nim。把奇数台阶的石子作为Nim，二者等价，因为必胜的策略是相同的。
　　(2) 每次可以取k堆，这个是经典的Moore Nim。它是泛化的Nim游戏。
　　(3) 两堆石子，每次可以取一堆或两堆，从两堆取得时候个数必须相同，谁先取完获胜。这个是著名的威佐夫博弈，跟黄金分割数有关，具体证明不是很清楚。
　　(4) Subtraction Games。一种通用的Nim游戏，每次从可用状态集合中选择下一步的状态，有很多变形，核心思想还是计算SG函数值。
　　(5) Take-and-Break Game。每次把局面分成多个Nim子游戏，利用SG分解定理求出对应的SG值。这儿要注意子游戏和子状态！！！
经典模型2：翻硬币游戏(Coin Turning Game)
　　(1) 一维的翻硬币游戏，每次可以翻1个或两个。通过单独考虑每个可以翻的硬币发现，Coin Turning Game的SG值和Nim等价，因此两个模型等价。需要注意的是，许多翻硬币游戏根据题目的要求，一般编号从0开始。
　　(2) 一维的翻硬币游戏，每次可以翻1个或两个，限定了翻第二枚硬币的范围，那么就和Subtraction Game等价了。
　　(3) 一维的翻硬币游戏，每次可以翻1个、2个或3个，这个游戏叫做MockTurtles，有一个神奇的规律，是Odious Number序列。
　　(4) 高维的翻硬币游戏，需要用到Nim积和Tartan定理。
　　翻硬币模型的变化更多，很多模型都有一些奇妙的规律，需要打表才能发现。
经典模型3：删边游戏(Green Hackenbush)
　　(1) 树的删边游戏：Colon原理证明这种模型和Nim依然是等价的，多个叉的SG值异或就是对应根节点的SG值。
　　(2) 无向图删边游戏：利用Fursion定理收缩圈，然后就转换成树的删边游戏了，不过这个定理还不会证。

补充：

    翻硬币游戏一直没有看懂，今天看懂了，在这儿说说

    看到的唯一的资料是贾志豪的那篇文章

    首先其中有一句话，对我启发很大，因为某一位有两个正面朝上的硬币和没有正面朝上的硬币是等价的——SG值等价，胜负判定等价 什么意思呢？？也就是说，局面的SG值为局面中每个正面朝上的棋子单一存在这两句话联合起来解释就是，相当于又建立了一个新的游戏，额，我说不明白了，举个例子，

这个游戏，翻转一个之后，该游戏结束，所有的都是反面，但是翻转两个之后就是一个消失的游戏（全是反面）

和这样的话，所有的游戏都可以看成take-and-break game 例如，例如规定翻的第二个硬币和最右边的硬币之间有两个，第三个硬币和第二个硬币之间有0个硬币，那么一次操作之后将变成和

ok，好像还是没有说明白