图的重构拓展之最小表示法

字符串最小表示

求字符串的循环最小表示：

 

上面说的两个字符串同构的，并没有直接先求出Min(s)，而是通过指针移动，当某次匹配串长时，那个位置就是Min(s)。而这里的问题就是：不是给定两个串，而是给出一个串，求它的Min(s)，eg：Min(“babba”) = 4。那么由于这里并非要求两个串的同构，而是直接求它的最小表示，由于源串和目标串相同，所以处理起来既容易又需要有一些变化：我们仍然设置两个指针，p1, p2，其中p1指向s[0]，p2指向s[1]，仍然采用上面的滑动方式：

 

(1)  利用两个指针p1, p2。初始化时p1指向s[0], p2指向s[1]。

 

(2)  k = 0开始，检验s[p1+k] 与 s[p2+k] 对应的字符是否相等，如果相等则k++，一直下去，直到找到第一个不同，(若k试了一个字符串的长度也没找到不同，则那个位置就是最小表示位置，算法终止并返回)。则该过程中，s[p1+k] 与 s[p2+k]的大小关系，有三种情况：

 

     (A). s[p1+k] > s[p2+k]，则p1滑动到p1+k+1处 --- 即s1[p1->p1+k]不会

 

      是该循环字符串的“最小表示”的前缀。

 

     (B). s[p1+k] < s[p2+k]，则p2滑动到p2+k+1处，原因同上。

 

     (C). s[p1+k] = s[p2+k]，则 k++； if (k == len) 返回结果。

 

    注:这里滑动方式有个小细节，若滑动后p1 == p2，将正在变化的那个指针再+1。直到p1、p2把整个字符串都检验完毕，返回两者中小于 len 的值。

 

(3)   如果 k == len， 则返回p1与p2中的最小值

 

      如果 p1 >= len   则返回p2

 

      如果 p2 >= len   则返回p1

 

(4)   进一步的优化，例如：p1要移到p1+k+1时，如果p1+k+1 <= p2的话，可以直接把p1移到 p2之前，因为，p2到p2+k已经检验过了该前缀比以p1到p1+k之间任何一个位前缀都小；p2时的类似，移动到p1+1。

 

至此，求一个字符串的循环最小表示在O(n)时间实现，感谢大牛的论文。其中实现时的小细节“如果滑动后p1 == p2，将正在变化的那个指针再+1”，开始没有考虑，害得我想了几个小时都觉得无法进行正确的移动。具体例题有两个：http://acm.zju.edu.cn 的2006和1729题。一个是10000规模一个是100000规模。运行时间前者是0S，后者是0.05S。

最小表示法即寻找使循环串最小字典序的起始位置.

详见周源的ppt和http://www.chhaya.me/?p=229.

基本上就是两个指针i=0,j=1.从s[i]和s[j]开始比较第k个字符是否相同,当k==len时,返回i,j中的最小值.当s[i+k]和s[j+k]不相同时,若s[i+k]>s[j+k]则可见从s[i+1]到s[i+k]都不会是最小字典序的起始位置,所以i=i+k+1.当s[i+k]<s[j+k]时同理.若移动后i==j则使正在移动的那个指针++.然后从新的s[i]和s[j]开始比较.

如poj1509：

#include <cstdio>
#include <cstring>
 
int mins(const char *s)
{
    int len=strlen(s);
    if(len==0||len==1) return 0;
    int i=0,j=1,k;
    char ci,cj;
    do
    {
        for(k=0;k<len;k++)
        {
            ci=s[(i+k)%len];
            cj=s[(j+k)%len];
            if(ci!=cj) break;
        }
        if(k==len) break;
        else if(ci>cj)
        {
            i=i+k+1;
            if(i==j) i++;
        }
        else
        {
            j=j+k+1;
            if(j==i) j++;
        }
    }while(1);
    return i<j?i:j;
}
 
char s[10001];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in","r",stdin);
    freopen("out","w",stdout);
#endif
    int cas;scanf("%d",&cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%s",s);
        printf("%d\n",mins(s)+1);
    }
}