最小树形图

最小树形图就是给定一个有向图，求以某个给定顶点为根的有向生成树（也就是说沿着这N-1条有向边可以从根走到任意点），使权和最小。

解决这个问题有一个O(VE)的算法，是这样的：对于除根外的每个顶点，选择一条权最小的入边。如果选出来的V-1条边不构成环，则可以证明这些边就是满足要求的答案。如果存在环，则将环中的边收缩成一个顶点。设x是环中的点，y不是环中的点，v为新的顶点，w0为上一步中x选择的入边的权值，则原来的权值为w的边(x,y)变成权值为w的边(v,y)，原来的权值为w的边(y,x)变成权值为w-w0的边(y,v)。这时最小树形图的答案就是环的权值和加上收缩以后的图的答案。

为什么收缩了以后要减小权值呢？很简单，最小树形图需要每个顶点选一条入边，顶点x当前已经有入边了，如果以后再给收缩后的顶点x选择权值为w的（原来属于x的）入边，就意味着已经选择的那条权值为w0的入边可以去掉了，也就是说选择这条边的代价应该是w-w0，所以就做这样的修改。

不过如果不固定根，我还不太知道如何用同样的复杂度解决，谁写过请教教我。

（发现自己最近表达能力很差，这个文章说得清楚些。）

示例程序（TJU2248，用邻接矩阵写的，O(V^3)，比较简洁）：
tju2248.cpp

June 28, 2007 · Filed under 程序园