莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯反演，之前做过一些题，一直没有太理解，膜了下faebdc学长的姿势，终于搞懂了一些。
首先我们有两个式子：
1: ∑d|nϕ(d)=n 2: ∑d|nμ(d)=e(n)
1式证明:对于 n 的质因数 x 对 ϕ(n) 贡献了 (x−1)∗xt−1
单独对于 x 而言约数可以为 x0,x1,...,xt ,设约数 xt−1 满足以上式子；
则对于 xt 而言有 xt−1+(x−1)∗xt−1=xt ，同样成立，归纳法得证。
2式证明，这与莫比乌斯函数性质有关。
然后我们就可以推式子了：
upd: ∑ni=1i∗e(gcd(i,n))=ϕ(n)∗n2
1Dgcd
∑ni=1gcd(i,n)=∑ni=1∑d|gcd(i,n)ϕ(d)=∑ni=1∑d|i,d|nϕ(d)=∑d|nϕ(d)⌊nd⌋
2Dgcd
∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)=∑ni=1∑mj=1∑d|i,d|jϕ(d)=∑min(n,m)d=1ϕ(d)⌊nd⌋⌊md⌋
1D[gcd==1]
∑ni=1e(gcd(i,n))=∑ni=1∑d|i,d|nμ(d)=∑d|nμ(d)⌊nd⌋
2D[gcd==k]
∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)==k]=∑⌊nk⌋i=1∑⌊mk⌋j=1e(gcd(i,j))=∑⌊nk⌋i=1∑⌊mk⌋j=1∑d|i,d|jμ(d)=∑min(⌊nk⌋,⌊mk⌋)i=1μ(d)⌊nkd⌋⌊mkd⌋
1D lcm
kind 1
∑ni=1lcm(i,n)=∑ni=1i∗ngcd(i,n)=∑ni=1∑d|n[gcd(i,j)==d]i∗nd=n∗∑d|n∑⌊nd⌋i=1e(gcd(i,nd))
=n∗∑d|n∑⌊nd⌋i=1i∑k|nd,k|iμ(k)=n∗∑d|n∑k|ndk∗μ(k)(⌊ndk⌋+1)∗⌊ndk⌋2
kind 2
∑ni=1lcm(i,n)=∑ni=1i∗ngcd(i,n)=∑ni=1∑d|n[gcd(i,j)==d]i∗nd=n∗∑d|n∑⌊nd⌋i=1e(gcd(i,nd))
=n∗∑d|n∑di=1i∗e(gcd(i,d))=n∗∑d|nϕ(d)∗d2
2D lcm
我们定义 sum(n,m)=∑ni=1∑mj=1i∗j
∑ni=1∑mj=1lcm(i,j)=∑ni=1∑mj=1i∗jgcd(i,j)
=∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1di∗djde(gcd(i,j))
=∑min(n,m)d=1d∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋j=1i∗je(gcd(i,j))
=∑min(n,m)d=1d∑min(⌊nd⌋,⌊md⌋)k=1μ(k)∗k2∗sum(⌊⌊nd⌋k⌋,⌊⌊md⌋k⌋)