汽车在哪扇门后面（博弈论的诡计）

在一个游戏节目里，主持人把标有1、2、3的三道门指给你，而且明确告诉你，其中两扇门背后是山羊，另一扇门后则有名牌轿车，你要从三个门里选择一个，并可以获得所选门后的奖品。当然你希望自己选中的是汽车而非山羊。既然是三选一，很清楚，你选中汽车的机会就是1/3。

 

在没有任何信息帮助的情况下，你选了一个(比如1号门)，这没有对或不对，完全是运气问题。但主持人并没有立刻打开l号门，而是打开了3号门，门后出现的是一只羊。这时，主持人问你是否要改变主意选2号门，现在你就面临一个决策问题了：改还是不改。

 

这个问题是美国专栏作家赛凡特女士在一篇文章中提出来的。她的思路大致如下：如果你选了1号门，你就有1/3的机会获得一辆轿车，但也有2/3的机会，车子是在另外两扇门后。接着好心的主持人让你确定车子确实不在3号门后，不过l号门有车子的几率还是维持不变，而2号门后有车子的几率变成2/3。实际上，3号门的几率转移到了2号门上，所以你当然应该改选。

 

赛凡特的游戏引来数以千计的读者来信，多半是认为她的推论是错的，主张1、2号门应该有相同的几率，理由你已经把选择变成2选1，也不知道哪扇门背后有车，因此几率应该跟丢掷铜板一样。

 

有趣的是，赛凡特又发现了一个有趣的现象：一般大众的来信里，有90%认为她是错的；而从大学寄来的信里，只有60%反对她的意见。在后续的发展里，一些统计博士加人讨论，且多半认为几率应该是1/2。赛凡特很惊讶这个问题所引发的热潮及反对声浪，不过她仍坚持己见。

 

统计学家从过去到今天一直都在寻求上述问题的答案。其实再简单不过，每个人都可以理解，也可以亲自验证。在此可以模拟一下：用3张盖起来的牌当做门，一张A，两张鬼牌，分别当作车子和山羊，连续玩十几次看看。

 

你很快就可以发现换牌是比较有利的，就和赛凡特说的一样。那为什么这些专家还争吵不休，究竟在3号门出现山羊后，1、2号门的几率为什么没有变成相等，或者是不是所有游戏者都有某些未言明的假设，即使用扑克牌模拟也是如此?

 

一个公平游戏，所以初始几率每个门都是1/3，到目前为止都没问题。

 

现在你选了1号门，到这儿也没有什么问题，因为你一无所知，所以猜对的几率是1/3。

 

关键部分到了，因为主持人打开了3号门，而没有解释他为什么要开3号门。这里有几种可能性。

 

主持人可能只想玩票，只要游戏者选1号，他就一定开3号门，不管3号门后是不是车，如果刚好出现羊，那运气不错；如果是车。那么游戏就告一段落，游戏者就输了。如果主持人真是这么想，那么3号门后不是车，对你来说确实是一项新资讯，这时车子出现的可能就是1号或2号门其中之一，两者间没有特别偏好。主持人并没有给你换门的好理由，也没有提供让你维持原案的原因。

 

多数赛凡特的反对者都相信在这样的情形下，几率是均等的，却全然不知他们已经对主持人的策略做了假设。

 

不过，如果主持人自有另一套规则，他心里知道绝不能打开有车子的那扇门，因为这会破坏现场的悬疑气氛。提早结束游戏，使观众失去兴趣。以娱乐大众为己任的主持人，吸引观众应该是其坚定的追求目标。

 

因此，如果主持人的策略是绝对不去开有车的那扇门，那么如果你一开始就选对了，他就可以随便开2号门或3号门；如果你一开始就选错了，那么他就会开没有车子的那扇门。因此无论如何，他开的那扇门后一定是头山羊，所以不会有任何新信息。

 

在这样的情况下，不管车子在哪里，他的举动都不会影响最初的选择，也就是1号门的几率。如果车子不在1号门后，那么他开的门等于是告诉你大奖的所在，因此2号门有2/3的机会，你第一次选1号门就选错了，他等于已经告诉你应该选哪一扇门。如果这是主持人的策略，那么有机会就赶快换，名车将属于你。虽然换选未必保证你一定会获胜，因为你仍有们的概率在第一次选择时就选对了，不过换选还是使获胜机会加倍了。

 

因为对主持人心理所做的假设不同。因此争论双方都有可能是对的。假设主持人开门是随机的，车子又不在他开启的那扇门的后面，那么几率就真的各有50%。假设他早就决定在这个阶段绝不去开有车的那扇门，那么他让你先看3号门后是什么的同时，你就应该利用这项信息而换选。

 

当自己在对局中处于不利地位时，冒更大的风险去换牌是比较有利的。而当自己处于有利地位时，采取保守策略，跟着对方出牌则是明智的。

 

小注：我对该问题的理解是，主持人目的是制造悬疑娱乐大众，所以他采取的策略应该是避免打开有车子的那扇门，假设车子在1号门后面，概率为1/3，主持人可以任意打开2号门或者3号门。假设车子不在1号门后面，概率为2/3，接下来主持人不会打开有车子的那扇门，也不会打开1号门（因为你选了1号门，打开的话就失去了悬疑），他会打开2，3号门当中没车子的那扇门，这个时候你如果改变策略，则成功获得车子的几率上升为2/3。