算法导论学习_数论

算法导论学习_数论

1>gcd（0，a）=|a|；0 和任意一个不为0的整数的最大公约数都为该数的绝对值，因为0除以任何一个不为0的整数都得0。

2>练习31.1-5

由n|ab  推出   
存在  K，使得  ab=nK；
gcd(a,n)=1  推出 存在  u，v，使得  ua+vn=1；
对上式两端同时乘以b，有
uab+vnb=b；
代入第一式有：unK+vnb=b；
即 n（uK+vb）=b
所以 n|b

 3>练习31.1-11   证明：大于1的自然数必可写成质数的乘积。

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n大于1。其次，n不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设其中a和b都是介于1和n之间的自然数，因此，按照n的定义，a和b都可以写成质数的乘积。从而n也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

4>负数可以求模取余

两个正数的求模运算结果是正数,

两个负数的求模运算结果是负数.

一正一负的话取决于"分子"的符号.

5%3=2

(-5)%3=-2

5%(-3)=2

(-5)%(-3)=-2

5>31.1-2 证明：有无穷多个素数

假设素数有穷，设最大的素数为A，那么我们再构造一个数b=2*3*5*7*~~~~A+1；
那么这个b一定是合数，但是它不能被所有的素数整除，于是他也是一个素数，与假设矛盾
，所以素数有无穷个

6>