红黑树

今天我们来介绍另一种平衡二叉树：红黑树（Red Black Tree），红黑树由Rudolf Bayer于1972年发明，当时被称为平衡二叉B树（symmetric binary B-trees），1978年被Leonidas J. Guibas 和 Robert Sedgewick改成一个比较摩登的名字：红黑树。

红黑树和之前所讲的AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。自从红黑树出来后，AVL树就被放到了博物馆里，据说是红黑树有更好的效率，更高的统计性能。不过在我了解了红黑树的实现原理后，并不相信这是真的，关于这一点我们会在后面进行讨论。

红黑树和AVL树的区别在于它使用颜色来标识结点的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL树中的非常严格的平衡。之前我们在讲解AVL树时，已经领教过AVL树的复杂，但AVL树的复杂比起红黑树来说简直是小巫见大巫。红黑树是真正的变态级数据结构。

红黑树的平衡

红黑树首先是一棵二叉查找树，它每个结点都被标上了颜色（红色或黑色），红黑树满足以下5个性质：

1、 每个结点的颜色只能是红色或黑色。

2、 根结点是黑色的。

3、 每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵），如果一个结点n的只有一个左孩子，那么n的右孩子是一个黑哨兵；如果结点n只有一个右孩子，那么n的左孩子是一个黑哨兵。

4、 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。也就是说在一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。

5、 对于每个结点来说，从该结点到其子孙叶结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

红黑树的这5个性质中，第3点是比较难理解的，但它却非常有必要。我们看图1中的左边这张图，如果不使用黑哨兵，它完全满足红黑树性质，结点50到两个叶结点8和叶结点82路径上的黑色结点数都为2个。但如果加入黑哨兵后（如图1右图中的小黑圆点），叶结点的个数变为8个黑哨兵，根结点50到这8个叶结点路径上的黑高度就不一样了，所以它并不是一棵红黑树。

 

 

要看真正的红黑树请在以上动画中添加几个结点，看看是否满足以上性质。

红黑树的旋转操作

红黑树的旋转操作和AVL树一样，分为LL、RR、LR、RL四种旋转类型，差别在于旋转完成后改变的是结点的颜色，而不是平衡因子。旋转动画演示请参考AVL这篇文章中的Flash动画：

http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/11/17/1335031.html

红黑树上结点的插入

在讨论红黑树的插入操作之前必须要明白，任何一个即将插入的新结点的初始颜色都为红色。这一点很容易理解，因为插入黑点会增加某条路径上黑结点的数目，从而导致整棵树黑高度的不平衡。但如果新结点父结点为红色时（如图2所示），将会违返红黑树性质：一条路径上不能出现相邻的两个红色结点。这时就需要通过一系列操作来使红黑树保持平衡。

 

 

 

为了清楚地表示插入操作以下在结点中使用“新”字表示一个新插入的结点；使用“父”字表示新插入点的父结点；使用“叔”字表示“父”结点的兄弟结点；使用“祖”字表示“父”结点的父结点。插入操作分为以下几种情况：

1、黑父

如图3所示，如果新点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。

 

 

 

2．红父

如果新点的父结点为红色，这时就需要进行一系列操作以保证整棵树红黑性质。如图3所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转操作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。

 

 

 

2.1 红叔

当叔父结点为红色时，如图4所示，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上进行平衡操作。

 

 

需要注意，无论“父”在“叔”的左边还是右边，无论“新”是“父”的左孩子还是右孩子，它们的操作都完全一样。

 

2.2 黑叔

当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能

情形1：

 

 

情形2：

 

 

 

 

  （2010-3-25 注意：经网友BourneHan的指正，现已确定3.2.1和3.2.2中的新结点应为黑色，而不是现在的不确定颜色。基于以下2点原因，我并不打算在代码及博文中更改这个错误：

   1、这个错误对代码及动画的正确性没有影响。

   2、之前的代码及动画经过了大量测试，需要花很多时间，更改代码意味着重新测试，现在的确抽不出这么多时间来做这项工作。

这里只能对各位读者说声对不起了，最快的补救方法就是在此点出错误，让读者明了。)

 

3.2.3 黑兄红侄

黑兄红侄有以下四种情形，下面分别进行图示：

情形1：

 

 

情形2：

 

情形3：

 

 

 

情形4：

 

 

 

由以上图例所示，看完以上四张图的兄弟有可能会有一个疑问，如果情形1和情形2中的两个侄子结点都为红色时，是该进行LL旋转还是进行LR旋转呢？答案是进行LL旋转。情形3和情形4则是优先进行RR旋转的判定。

红黑树的代码实现

本以为红黑树的代码非常容易，因为System.Collections.Generic.SortedDictionary类就是使用红黑树实现的，把代码的算法部分抠出来就搞定了。但看了SortedDictionary源码后有些失望，C#中真正实现红黑树的是TreeSet类，SortedDictionary只是在TreeSet的基础上进一步抽象，加上了Key/Value泛型对。TreeSet使用了一种新的红黑树算法，它在搜索插入点和删除点时预先进行旋转和染色操作，从而避免插入和删除后的回溯。这种算法看上去很美，但仔细想想，如果插入的是一个已经存在的结点，删除的结点并不存在，那这些预平衡处理不是白做了吗？更可怕的是如果在一条路径上间隔进行一次插入和一次删除，而这些操作没有命中目标，那么大家就会看到结点的颜色变来变去，这些都是无用功。来看看在寻找插入和删除点的路径上TreeSet每前进一步都要做些什么：给四个变量赋值；判断每个结点的两个孩子结点的颜色。这种算法在《java数据结构和算法》这本书中有详细讲述，不过只讲解了插入算法。另外国内也专门有一篇论文描述这个算法，他的测试结果是这种算法优于其他算法，估计测试时没有不命中目标的情况发生。总之我并不相信这是一个好的算法。

为了证实我的想法，我不得不自己实现红黑树，实现思路跟AVL树很类似，也是使用一个数组保存访问路径以进行回溯，当然，考虑到红黑树不严格的平衡，数组的长度设为64，这并不会给性能带来什么影响。过程很艰辛，需要做大量测试。很不幸，写完后继续做红黑树的Silverlight动画时不小心把原来的代码给覆盖掉了，结点删除部分的代码丢失。当时几乎崩溃，不过重写并没有我想象的那么困难，很快完成，感觉思路清晰了很多，实现比原来也有了改进，感谢上帝！

下面把代码贴出来，如果理解了上面所讲内容是很容易读懂这些代码的。