[leetcode] 279. Perfect Squares 解题报告

题目链接：https://leetcode.com/problems/perfect-squares/

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

思路：刚开始想到可以用动态规划来解，一个数可以划分为多少个平方数和可以由分解这个数为另外两个已知的更小的数状态决定。比如0 + 5 = 5, 1 + 4 = 5, 2 + 3 = 5;

即：

dp[i] = min(dp[i], dp[j] + dp[k]); // i = j + k

这样就可以将现有问题转化为已知问题。这种方式需要遍历每一种 j + k = i的每一个组合，因此时间复杂度为O(n*n)，n到6000+就超时了，无法过掉所有测试数据。

代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        if(n <= 0)  return 0;
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        int k = sqrt(n);
        for(int i = 1; i <= k; i++)//首先直接求出直接可以平方的数
            dp[i*i] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j < i; j++)//遍历每一种j + k = i的组合
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + dp[i-j]);
        }
        return dp[n];
    }
};

后来看了别人的解题报告发现一些更好的方式。

第一种使用动态规划，但是将时间复杂度降到O(n*log(n))。在已知dp[i]的情况下可以直接求出dp[i + j*j]。

就是在已经知道a是由几个平方数构成的情况下可以求出a加上一个平方数最多是由(dp[i] + 1)个平方数构成。因此状态转移方程为：

dp[i + j*j] = min(dp[i + j*j], dp[i] + 1);

刚开始初始化dp[0] = 0，因此我们求出dp[0 + 1*1], dp[0 + 2*2], dp[0 + 3*3]...., dp[0 + j*j]，（0 + j*j <= n），这样第一次循环就可以找出所有直接可以平方的数。

并且我们知道了dp[1]的值，然后再求dp[1 + 1*1]，dp[1 + 2*2]... dp[1 + j*j]。这样求出可以找出可以由1加上一个平方数的数。

运行时间为452 ms，代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        if(n <= 0)  return 0;
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i <= n ;i++)
            for(int j = 1; i + j*j <=n ;j++)//在已知的状态下找到可以由其加上一个平方数组成的数
                dp[i + j*j] = min(dp[i+j*j], dp[i]+1);

        return dp[n];
    }
};

还有一种数学的方法，利用一些已知的定理， 四平方和定理，如果一个数有因子4，那么去掉4因子之后并不影响其平方和性质。如果一个数除余8等于7，那么其是由4个数平方构成。

以前我也没听说这个定理，数学捉急啊！

运行时间为8 ms，数学的力量真是吊。

代码如下：

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        while(n%4 == 0) n/=4;
        if(n%8 == 7) return 4;
        for(int a = 0; a*a <= n; a++)
        {
            int b = sqrt(n-a*a);
            if(a*a + b*b == n)
            {
                return !!a + !!b;
            }
        }
        return 3;
    }
};

参考：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4800552.html