树状数组及其应用
利用树状数组解决几类问题
树状数组作为一种实现简单、应用较广的高级数据结构，在OI界的地位越来越重要，下面我来简单介绍一下树状数组和它的简单应用。
一、树状数组简介
树状数组(Binary Indexed Trees，简称BIT)是一种特殊的数据结构，这种数据结构的时空复杂度和线段树相似，但是它的系数要小得多。它可以方便地查询出一段区间中的数字之和。其查询和修改的时间复杂度均为O(lbN),并且是一个在线的数据结构，可以随时修改并查询。我接下来用一道题目来介绍树状数组的几个基本操作。
【引例】
假设有一列数{Ai}（1<=i<=n），支持如下两种操作：
1. 将Ak的值加D。（k，D是输入的数）
2. 输出（s，t都是输入的数，s<=t）
这道题目用线段树很容易可以解决，我就不多说了，那么如何用树状数组来解决呢？我们新增一个数组C[]，其中C[i]=a[i-2k+1]+……+a[i](k为i在二进制形式下末尾0的个数)。根据定义我们可以得出一下这张表格：
| i |
二进制 |
K |
|
| 1 |
(1)2 |
0 |
c[1]=a[1] |
| 2 |
(10) 2 |
1 |
c[2]=a[1]+a[2]=c[1]+a[2] |
| 3 |
(11) 2 |
0 |
c[3]=a[3] |
| 4 |
(100) 2 |
2 |
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=c[2]+c[3]+a[4] |
| 5 |
(101) 2 |
0 |
c[5]=a[5] |
| 6 |
(110) 2 |
1 |
c[6]=a[5]+a[6]=c[5]+a[6] |
| …… |
|||
在这里，我们会发现k值的求解会有一些难度，这就引出了树状数组的第一个操作：低位技术，也叫Lowbit(k)。
对于Lowbit这里我提三种不同的写法（这三种形式是等价的，读者有兴趣可以去证明一下）：
1.Lowbit(k)=k and (k or (k-1))
2.Lowbit(k)=k and not (k-1)
3.Lowbit(x)=k and –k
然后我来分析引例的树状数组解法，为了可以更好地理解这种方法，读者可以根据以下这幅图来加以理解。
【操作2】修改操作：将Ak的值加D
可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(lbN)。
定理1：若A[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2]……C[pm]， 则p1=k，而（li为pi在二进制中末尾０的个数）。
例如A[1]……A[8]中，a[3] 添加x；
p1=k=3 p2=3+20=4
p3=4+22=8 p4=8+23=16>8
由此得出，c[3]、c[4]、c[8]亦应该添加x。
定理的证明如下：
【引 理】若A[k]所牵动的序列为C[p1]，C[p2] …… C[pm]， 且p1 <p2<…<pm，则有l1 <l2<…<lm（li为pi在二进制中末尾０的个数）。
证明：若存在某个i有li≥li+1，则，，，即： (1)
而由Li=Li+1、Pi< Pi+1可得 (2)
(1) (2)矛盾，可知l1 <l2 <……<lm
定理2：p1=k，而p i+1=pi+2li
证明：因为p1 <p2 < …… <pm 且C[p1]，C[p2] …… C[pm]中包含a[k]，因此p1=k。在p序列中，pi+1=pi+2li是pi后最小的一个满足li+1 >li的数（若出现Pi+x比pi+1更小，则x<2li ，与x在二进制中的位数小于li相矛盾）。Pi+1=pi+2li，li+1≥li+1。
由pi-2li+1≤K≤Pi可知，Pi+1-2li+1+1≤Pi+2li–2*2li+1=Pi– 2li+1≤K≤Pi≤P i+1 ，故Pi与pi+1之间的递推关系式为
P i+1=Pi+2li
【操作3】求数列的前n项和。只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数, 因此，求和操作的复杂度也是O(lbN)。
根据c[k]=a[k-2l+1]+… +a[k] (l为k在二进制数中末尾０的个数)，我们从k1=k出发，按：ki+1=ki-2lki（lki为ki在二进制数中末尾0的个数）
递推k2，k3，…，km (km+1=0)。
由此得出
S=c[k1]+c[k2]+c[k3]+ … + c[km]
相信看了这两个操作的理论部分，读者应该有了一定的理解，下面给出这两种操作和其他一些重要操作的Pascal代码。
【操作1】低位技术：Lowbit(k)
Lowbit(k)：即k在2进制数中从最低位开始连续0的位数的关于2的幂。
代码
Function Lowbit(k:Longint) :Longint;
Begin
Lowbit:=kand –k;
End;
【操作2】修改操作：Modify(k, D)
Modify(k, D)：对数组 a[] 中的第k个元素加上D。为了维护C[] 数组，我就必须要把 C[] 中所有“管”着 a[k] 的 c[k] 全部加上D，这样才能随时以 O(lbN) 的复杂度进行 Sum(i) 的操作。而 "k:=k+ Lowbit(k)" 正是依次访问所有包含 a[k]的 c[k] 的过程。
修改a[k]，我们需对c[k] , c[k+Lowbit(k)] , c[k+Lowbit(k)+Lowbit(k+Lowbit(k))]……进行修改。时间复杂度O(lbN) 。
代码
Procedure Modify(k,D:Longint);
Begin
Whilek<=N Do
Begin
C[k]:=C[k]+D;
k:=k+Lowbit(k);
End;
End;
【操作3】求和操作：Sum(N)
Sum(i): 求和正好反过来，每次 “i:=i-Lowbit(i)” 依次求 a[i] 之前的某一段和。因为 c[i] 有这样一个性质：Lowbit(i) 的值即为 c[i] “管”着 a[i] 中元素的个数，比如 i = (101100)2，那么 c[i] 就是从 a[i] 开始往前数(100) 2 = 4 个元素的和，也就是 c[i]= a[i] + a[i - 1] + a[i - 2] + a[i - 3]。那么每次减去 Lowbit(i)就是依次跳过当前 c[i] 所能管辖的范围，以便不重不漏地求出所有 a[i] 之前的元素之和。
Sum(i)=c[i]+c[i-Lowbit(i)]+c[i-Lowbit(i)-Lowbit(i-Lowbit(i))]……时间复杂度O(lbN)
代码
Function Sum(N:Longint):Longint;
Begin
Sum:=0;
While N>0Do
Begin
Sum:=C[N]+Sum;
N:=N-Lowbit(N);
End;
End;
和其他高级数据结构一样，树状数组也支持求第k小元素、删除以及插入操作（这些一直不被人熟知)，下面我来重点介绍一下：
【操作4】删除操作：Delete(k)
我们设C[i]表示数i出现的次数，删除第k个数只需要Dec(C[A[k]])即可（如果A[k]很大，只需要离散化即可）。
代码
Procedure Delete(K:Longint);
Begin
Modify(A[k],-1);
End;
【操作5】插入操作：Insert(k)
类似地，我们设C[i]表示数i出现的次数，插入第k个数只需要Inc(C[A[k]])即可（如果A[k]很大，只需要离散化即可）。
代码
Procedure Insert(K:Longint);
Begin
Add(A[k],1);
End;
【操作6】取第K小的数：FindKth(K)
同操作4，我们设C[i]表示数i出现的次数。如果要求出最小值，也就是说我们需要找出一个最小的i，使得，这个i必定是最小值。接下来就是如何找出这个i的问题了。令，我们可以发现S具有单调性，于是我们可以通过二分查找来找出这个i.
代码
Function FindKth(K:Longint):Longint;
Var Left,Right,Mid,tmp:Longint;
Begin
Left:=1; Right:=MaxValue;
While Left<=RightDo
Begin
Mid:=(Left+Right)shr 1;
tmp:=Sum(mid);
If tmp<KThen Left:=Mid+1
else
Begin
FindKth:=Mid;
Right:=Mid-1;
End;
End;
End;
以上三个操作的时间复杂度分别为：O(lbN)、O(lbN)和O(lb2N)。其实用树状数组找第K小的数还有其他的做法，可以将时间复杂强度降为O(lbN)，这里就不再详细介绍，又想去的读者可以参见相关资料。
二、利用树状数组解决几类问题
1.区间求和类问题
【例1】数列操作1
描述
给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和。
输入
输入数据第一行包含2个整数N，M（1≤N,M≤100000），表示序列的长度和操作的次数。
接下来M行，每行会出现如下的一种格式：
· Add ix ——将序列中第i个数加上x
· Sub ix ——将序列中第i个数减去x
· Mul ix ——将序列中第i个数乘上x
· Queryi j ——求出序列中第i个数到第j个数的和
输出
对于每一个Query操作输出一个数，表示序列中第i个数到第j个数的和。
分析：
这道题目我们很容易想到用朴素模拟来解决，但时间复杂度最坏为O(NM)，超时是必然的。这时候我们就可以巧妙借助树状数组来解决这个问题。加、减与求和操作就如同上文介绍的一样简单，只与乘操作，我们可以先将这个数减至0，然后加上这个数乘以x。
时间复杂度为O(MlbN)
【例2】数列操作2
描述
给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一段连续位置上的数字,加上一个数,减去一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一个位置的数字。
输入
输入数据第一行包含2个整数N，M（1≤N,M≤100000），表示序列的长度和操作的次数。
接下来M行，每行会出现如下的一种格式：
· Add ij x ——将序列中第i个数到第j个数加上x
· Queryi ——求出序列中第i个数
输出
对于每一个Query操作输出一个数，表示序列中第i个数。
分析：
我们把支持这种操作的树状数组称为树状数组的模式二，对于模式二，树状数组可以做到随时修改数组a[]中某个区间的值O(1)，查询某个元素的值O(lbN)
在这种模式下，a[i]已经不再表示真实的值了，只不过是一个没有意义的、用来辅助的数组。这时我们真正需要的是另一个假想的数组b[]，b[i] 才表示真实的元素值。但c[] 数组却始终是为a[]数组服务的，这一点大家要明确。此时Sum(i)虽然也是求a[i]之前的元素和，但它现在表示的是实际我要的值，也就是b[i]。
比如现在我要对图1中a[]数组中红色区域的值全部1。当然你可以用模式一的 Modify(i)对该区间内的每一个元素都修改一次，但如果这个区间很大，那么每次修改的复杂度就都是O(NlbN)，m次修改就是O(MNlbN)，这在M和N很大的时候仍是不满足要求的。这时模式二便派上了用场。我只要将该区域的第一个元素+1，最后一个元素的下一位置-1，对每个位置Sum(i)以后的值见图2：
相信大家已经看得很清楚了，数组b[]正是我们想要的结果。模式二难理解主要在于a[] 数组的意义。这时请不要再管a[i]表示什么，a[i]已经没有意义了，我们需要的是b[i]！但模式二同样存在一个缺陷，如果要对某个区间内的元素求和，复杂度就变成O(nlbn)了。所以要分清两种模式的优缺点，根据题目的条件选择合适的模式，灵活应变！
【例3】[SDOI2009]HH的项链
描述
HH有一串由各种漂亮的贝壳组成的项链。HH相信不同的贝壳会带来好运，所以每次散步完后，他都会随意取出一段贝壳，思考它们所表达的含义。HH不断地收集新的贝壳，因此，他的项链变得越来越长。有一天，他突然提出了一个问题：某一段贝壳中，包含了多少种不同的贝壳？这个问题很难回答……因为项链实在是太长了。于是，他只好求助睿智的你，来解决这个问题。
输入
第一行：一个整数N，表示项链的长度。
第二行：N个整数，表示依次表示项链中贝壳的编号（编号为0到1000000之间的整数）。
第三行：一个整数M，表示HH询问的个数。
接下来M行：每行两个整数，L和R（1≤ L ≤ R ≤ N），表示询问的区间。
输出
M行，每行一个整数，依次表示询问对应的答案。
分析：
本题数据规模较大，需要合理使用数据结构。题目中有两个元素：区间和颜色。如果直接使用线段树套平衡树，需要牵扯到“合并”操作，时间复杂度很高（比如当询问类似[2,N-1]的时候）。因此，需要做一些预处理工作使得询问更容易解决。
观察在某一区间内出现的某种颜色，假设有若干个同色点都在这个区间中，而该颜色只能计算一遍，因此我们需要找出一个有“代表性”的点，当然是第一个最有“代表性”。观察该点，以及它前后同色点的位置，有什么可以利用的规律？很显然，它的上一个同色点肯定在区间左侧，而同区间内的该颜色的其他点，它们的上一个同色点显然在区间内。这样，我们的工作便是找到询问区间[l,r]中这样的点x的个数：点x的上一个同色点在询问区间[l,r]左侧。
到这一步，我们有一个在线算法：建线段树，将询问分成O(lbN)个小区间分别处理。如果再套平衡树，需要二分查找才能求符合条件的点的“个数”。这样总的理论最坏复杂度为O(M(lbN)3)，虽然实际情况会好一些，但还是难以符合要求。我们分析一下该算法复杂度高的原因：平衡树难以很好支持求“个数”的运算，需要二分来实现。那么求“个数”效率最高的是什么数据结构？当然是树状数组。
当然，线段树是无法再套树状数组的，那样空间复杂度会达到O(N2)，所以我们要舍弃线段树，寻找新的算法。对于一堆“无序”的询问区间，如果没有线段树，便很难处理。因此我们考虑将区间按左端点排序，使其有序，然后从左到右扫描每个点。再考虑那些“上一个同色点在询问区间左侧”的点，我们的目的是快速求出该区间中这种点的个数。而这些点的上一个同色点因为在询问区间左侧，所以已经被扫描过，而区间内其他点却没有！这样，如果我们换个角度，改“上一个”为“下一个”，预处理出每个点i的下一个同色点的位置Next[i]，并且在扫描过该点i后使树状数组C[Next[i]]=1。那么对于询问区间[l,r]，答案便是Sumc[r]-Sumc[l-1]！这样，算法只有“加1”和“求和”两种操作。问题到此得到圆满解决， 最终时间复杂度为O(MlbN)。
2.求序列中第k大数
【例4】魔兽争霸
描述
小x正在销魂地玩魔兽他正控制着死亡骑士和N个食尸鬼(编号1～N)去打猎。死亡骑士有个魔法，叫做“死亡缠绕”，可以给食尸鬼补充HP。
战斗过程中敌人会对食尸鬼实施攻击，食尸鬼的HP会减少。小x希望随时知道自己部队的情况，即HP 值第k多的食尸鬼有多少HP，以便决定如何施放魔法。请同学们帮助他:)
小x向你发出3种信号：（下划线在输入数据中表现为空格）
· A i a 表示敌军向第i 个食尸鬼发出了攻击，并使第i 个食尸鬼损失了a 点HP，如果它的HP<=0,那么这个食尸鬼就死了(Undead也是要死的……)。敌军不会攻击一个已死的食尸鬼。
· C i a 表示死亡骑士向第i个食尸鬼放出了死亡缠绕，并使其增加了a点HP。HP值没有上限。死亡骑士不会向一个已死的食尸鬼发出死亡缠绕
· Q k 表示小x向你发出询问
输入
第一行，一个正整数N，以后N个整数 表示N个食尸鬼的初始HP 值
接着一个正整数M，以下M行 每行一个小x发出的信号
输出
对于小x的每个询问，输出HP 第k多的食尸鬼有多少HP，如果食尸鬼总数不足k个，输出-1。每个一行数。
最后一行输出一个数：战斗结束后剩余的食尸鬼
分析
这道题目描述十分清楚，关键就是选取好的数据结构来实现。
我们设C[i]表示HP等于i出现的次数，假设所有数不超过S。
· 对于操作A_i_a：我们只需要将C[hp[i]]减1，C[hp[i]-a]加1即可，同时将hp[i]减a。要特殊考虑hp[i]-a小于等于0的情况；
· 对于操作C_i_a：我们只需要将C[hp[i]]减1，C[hp[i]+a]加1即可，同时将hp[i]加a；
· 对于操作Q_k：我们需要找到一个数x使得{ΣC[i]=k|i<=x,C[x]<>0}即可。
我们可以发现前两个操作的时间复杂度均为O(1)，而第三个操作的时间复杂度接近于O(S)。显然我们只要将操作3的时间复杂度降下来就可以了。注意到这道题目只需要求和，这时候树状数组就派上了巨大的用场。构建一个树状数组C[]：
· 对于操作A_i_a：我们只需要Add(hp[i],-1)，Add(hp[i]-a,1)即可，同时将hp[i]减a。要特殊考虑hp[i]-a小于等于0的情况；
· 对于操作C_i_a：我们只需要Add(hp[i],-1)，Add(hp[i]+a,1)即可，同时将hp[i]加a；
· 对于操作Q_k：我们可以使用二分查找来找到那个数x（实现方式和找最小值一样）。
至此，我们只需要将所有的数先离散化就可以了。
时间复杂度：O(MlbN)
3.“图腾”类问题的统计
【例5】逆序对
描述
对于一个包含N个非负整数的数组A[1..n]，如果有i < j，且A[ i ]>A[j ]，则称(A[ i] ,A[ j] )为数组A中的一个逆序对。例如，数组（3，1，4，5，2）的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2),(5,2)，共4个。给定一个数组，求该数组中包含多少个逆序对。
输入
输入数据第一行包含一个整数N，表示数组的长度；
第二行包含N个整数。
输出
输出数据只包含一个整数，表示逆序对的个数。
分析
如题，这道题目只要求输出逆序对的个数就可以了，传统的求逆序对的方法有好多，这里我只介绍用树状数组求逆序对。
设C[i](i如果会很大，只需要离散化即可)表示i出现的次数。我们顺序枚举每一个数A[i]，显然以A[i]为结尾的逆序对的个数为，这一步我们可以利用树状数组优化到O(lbN)，接下来inc(C[A[i]])。将所有的加起来就可以计算出答案了。
【例6】[TYVJP1432]楼兰图腾
描述
在完成了分配任务之后，西部314来到了楼兰古城的西部。相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(‘V’)，一个部落崇拜铁锹(‘∧’)，他们分别用V和∧的形状来代表各自部落的图腾。
西部314在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了N个点，经测量发现这N个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。西部314认为这幅壁画所包含的信息与这N个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为(1,y1),(2,y2),…,(n,yn),其中y1~yn是1到N的一个排列。
如图，图中的y1=5,y2=1,y3=2,y4=4,y5=3.
西部314打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾，其中V图腾的定义如下（注意：图腾的形式只和这三个纵坐标的相对大小排列顺序有关）1<=i<j<k<=N且yi>yj,yj<yk;
而崇拜∧的部落的图腾被定义为1<=i<j<k<=N且yi<yj,yj>yk;
西部314想知道，这N个点中两个部落图腾的数目。因此，你需要编写一个程序来求出V的个数和∧的个数。
输入
第一行一个数N；
第二行是N个数，分别代表y1，y2……yn
输出
两个数，中间用空格隔开，依次为V的个数和∧的个数
分析
我们可以发现，如果能统计出V图腾的个数，那么∧图腾的个数也可以利用类似的方法统计出来，这里我介绍两种方法来统计V图腾的个数。
方法一：
我们可以发现V图腾的前半部分具有逆序对的性质，因此我们可以利用类似的方法统计V图腾的个数。设f[1,i]表示数i出现的次数，f[2,i]表示以数i为结尾的“\”图腾的个数，f[3,i]表示以数i结尾的V图腾的个数。接下来我们顺序枚举Y[i]，然后就是f[1..3]的转移：
最后的答案就是，用树状数组优化这个方程就可以将时间复杂度降为O(NlbN)。
方法二：
我们可以从另一个角度来考虑。我们仔细观察一下图形，V图腾要求两边的点的高度大于中间的点的高度。也就是说定下了中间的点之后，我们只需要分别统计这个点左边和右边比他高的点的个数就可以了（分别设为LS和RS）。根据乘法原理，以这个点为中间点的V图腾的个数就是LS*RS。显然我们的答案就是。至于计算RS和LS的过程中，我们只需要用树状数组来优化就可以了。
在实际运行效果中，虽然两种方法的时间复杂度都是O(NlbN)，但方法一花的时间远超过方法二。这就告诉我们，在平时做题目的时候，要多多注意分析各种算法的时空复杂度，尽量使算法完美。
【例7】K阶逆序对(原创题)
描述
Jim是一位数列爱好者，他对于各种数列都有一定的研究。同时他对和数列有关的数也特别感兴趣，最近他开始研究逆序对。
先给出逆序对的定义：对于一个包含N个正整数的数组A[1..N]，如果有i<j，且A[i]>A[j]，则称<A[i],A[j]>为数组A中的一个逆序对。例如，数组{3,1,4,5,2}的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>，共4个。
同许多牛人一样，Jim很快解决了求一个给定序列的逆序对个数的问题。但Jim并不满足这一点，他开始研究逆序对的推广形式：K阶逆序对。下面给出K阶逆序对的定义：对于一个包含N个正整数的数组A[1..N]，如果存在一个序列B[1..K]，有1<=B[1]<B[2]<…<B[K]<=N，且A[B[1]]>A[B[2]]>…>A[B[K]]，则称<A[B[1]],A[B[2]],…,A[B[K]]>为数组A中的一个K阶逆序对。
Jim想知道对于一个给定的序列A[1..N]，到底存在多少个K阶逆序对？Jim在研究了K=2,3,4,…,的情况之后，发现这个问题十分复杂。于是他找到了OIT，希望你能帮助他解决这个问题。由于Jim不喜欢看到高精度数，你只需要告诉他这个数对10000007取模之后的结果。
输入
输入文件名为kpair.in，共N+1行。
第1行包含2个整数N和K，表示序列的长度和逆序对的阶数。
接下来N行，每行一个整数，表示Tim给出的序列。第i+1行表示序列的第i个数。
输出
输出文件名为kpair.out。共1行，包含一个整数，表示K阶逆序对的个数。你只需要输出这个数对1000007取模之后的结果。
分析
有了上面楼兰图腾的铺垫，相信读者能很快想出这道题目的解法。
我们可以发现，这个K阶逆序对是由一个个相互连接的逆序对组成的，我们可以考虑从递推的方向上解决这个问题。
设表示以数j为结尾的长度为i的逆序对的个数(我们这里先假定序列A里面的数不超过N)。类似地：
答案就是。
时间复杂度为O(NKlbN)
三、小结
1、树状数组有两种模式的应用：
模式一：对数组a[]的某个元素作修改O(lbN)，查询某个区间内所有元素的和O(lbN)
模式二：随时修改数组a[]中某个区间的值O(1)，查询某个元素的值O(lbN)
2、树状数组具有程序简单、代码短、不易出错、易推广到多维。
以二维为例，用c[k1][k2]表示c[k1-(2^t1)+1][k2-(2^t2)+1]+ ... + c[k1][k2]的总和。
3、树状数组相比线段树的优势：空间复杂度略低，编程复杂度低，容易扩展到多维情况。劣势：由于对其进行的运算有限制，树状数组的应用范围并不广泛。
总的来说，树状数组始终只是一种数据结构，而数据结构的出现就是为了辅助解题用的。也就是说，我们在学习树状数组的过程中要注意它的应用方面。比如说优化一些动规方程，优化贪心的时间复杂度等等。
其实树状数组还有其他更加高级的应用，像多维树状数组。由于篇幅的限制，这里不能一一介绍下面提供另外几道树状数组的题目，以便读者可以练习：
1.URAL P1028 Stars
2.TYVJ P1474 打鼹鼠
3. PKU P1195Mobile phones
4. PKU P2481Cows
5. Vijos P1448 校门外的树
6.PKU P2155Matrix
7.USACO 2004OPEN Moofest
8.ZJOI2003 密码机
9.PKU P3321 Apple Tree
10.Ural P1090 In the army now