[HNOI2008] 玩具装箱toy

斜率优化DP。

参考资料：2004周源《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》。斜率优化部分的证明，构造下凸曲线。

本题题解：

C[i] 表示前 i 个玩具的长度

F[i] 表示前 i 个玩具装完之后的最小费用

状态转移方程： F[i] = min { F[j] + (C[i] - C[j] + i - j - 1 - L)^2  }

令 S[i] = C[i] + i 则

F[i] = min { F[j] + (S[i] - S[j] - L - 1)^2 }

令 m = S[i] - L - 1 则

F[i] = min { F[j] + (m - S[j])^2 }

求斜率方程：

设 i 之前的两个决策点位 j ， k 且 j 比 k 决策更优，则：

Fj + (m - Sj)^2 <= Fk + (m - Sk)^2

转化：Fj - Fk + Sj^2 - Sk^2 <= 2*m* (Sj - Sk)

令Y = F + S^2 , X = S 则上式为：

Yj - Yk <= 2*m*(Xj - Xk)

Si 是单调递增的，所以可以将右侧除过来：

(Yj - Yk)/(Xj - Xk) <= 2*m  记为：X（j, k）<= 2*m （斜率公式）

规定队列的维护规则（构造下凸曲线）
队首维护:
    假设A,B(A<B)是队首元素,若X(B,A)<=F[I],则B比A好,删除A,否则不需维护.

队尾维护:
    假设A,B,C(A<B<C)是队尾元素
a.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)<=F[I],则C比B好,B比A好
b.若X(B,A)<=F[I],且X(C,B)>F[I],则B比C好,B比A好,B为极大值
c.若X(B,A)>F[I],A比B好

a,c情况直接删掉B,b情况保留.b情况可改为X(B,A)<X(C,B)

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 50003
#define sqr(a) (a)*(a)
LL c[N], s[N], f[N];
int n, l, q[N];
double slope(int i, int j) {
    return 1.0*(f[i]-f[j]+sqr(s[i])-sqr(s[j]))/(s[i]-s[j]);
}

int main() {
    while (scanf("%d%d", &n, &l) == 2) {
        c[0] = s[0] = 0;
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%lld", &c[i]);
            c[i] += c[i-1];
            s[i] = c[i] + i;
        }
        int h, t;
        f[0] = q[0] = h = t = 0;
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            LL m = s[i] - l - 1;
            while (h<t && slope(q[h+1], q[h]) <= 2*m) h++;
            int j = q[h];
            f[i] = f[j] + sqr(m-s[j]);
            while (h<t && slope(q[t], q[t-1]) >= slope(i, q[t])) t--;
            q[++t] = i;
        }
        printf("%lld\n", f[n]);
    }
    return 0;
}