网络流最大流最小割算法
不得不说网络流算法是很让人无语的算法，要想高效率竟然要非递归实现深搜，很无奈，到现在还是在低效率中挣扎！
最大流算法的证明就不说了，无非就是最大流最小割定理的推导，定理描述如下：
对于任意给定的网络D=(V,A,C)，从出发点vs到收点vt的最大流的流量必等于分割的最小截集的容量！
至于截集，定义为：
给定网络D=(V,A,C)，若点集V被分割成两个非空集合V1和V2，使得V=V1+V2,V1∩
V2=φ(空集)，且vs∈V1,vt∈V2，则把始点在V1,终点在V2的弧的集合称为分离vs和vt的
一个截集
然后，网络流算法最重要的增广链，正式定义为：
设 f = {Fij}是网络D=(V,A,C)上的一个可行流，u 是从 Vs到 Vt的一条链，若u 满足下列条件：
(1)在弧 (vi,vj)∈μ+上，即 u+中的每一条弧都是非饱和弧；
(2)在弧 (vi,vj)∈μ-上，即u- 中的每一条弧都是非零流弧。
则称 是关于 的一条增广链。
找最大流就是不断的找增广链，直到找不到增广链为止！
朴素的有Ford —— Fulkerson标号法，就是每次从源点开始找增广链，然后更新网络，再找增广链，再更新。。。
伪代码可以表示为：
void Ford_Fulkerson()
{
int max_l = 0;
while (存在增广链)
{
max_l += 可更新流量；
更新残余网络；
}
}
另外网络流算法多种多样，比如dinic，有兴趣可以学习学习！
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int Max = 225;
const int oo = 210000000;
int n,m,c[Max][Max],r[Max][Max],source,sink,nc,np;
int dis[Max],block[Max];
void initialize()// BFS建立层次图，
{
int q[Max],head = 0, tail = 0;
for(int i = 0; i <= sink; i++) dis[i] = oo;
q[++head] = sink;
dis[sink] = 0;
while(tail < head)
{
int u = q[++tail], v;
for(v = 0; v <= sink; v++)
{
if(dis[v] == oo && r[v][u] > 0)
{
dis[v] = dis[u] + 1;
q[++head] = v;
}
}
}
}
int dinic()
{
initialize();
int top = source, pre[Max], flow = 0, i, j, k, low[Max];//top是最短增广路最前面一个节点
memset(low,0,sizeof(low));
memset(block,0,sizeof(block));
while(dis[source] != oo)// Dinic算法结束条件：从源点到汇点没有路
{
bool flag = false;
low[source] = oo;
for(i = 0; i <= sink; i++)//找admissible arc
{
if(r[top][i] > 0 && dis[top] == dis[i] + 1 && !block[i])
{
flag = true;
break;
}
}
if(flag)// 如果找到
{
low[i] = r[top][i];// low保存到当前节点的最小容量
if(low[i] > low[top]) low[i] = low[top];//更新
pre[i] = top; top = i;
if(top == sink)//找到路
{
flow += low[sink];
j = top;
while(j != source)//回溯更新残流网络
{
k = pre[j];
r[k][j] -= low[sink];
r[j][k] += low[sink];
j = k;
}
top = source;//从新找增广路
memset(low,0,sizeof(low));
}
}
else//否则阻塞当前点
{
block[top] = 1;
if(top != source) top = pre[top];//回溯
}
if(block[source])//如果源点被阻塞了就从新建立层次图
{
initialize();
memset(block,0,sizeof(block));
}
}
return(flow);
}