HDOj 母函数详解

知识点：组合数学之母函数
研究一下形式


可以看出：

x^2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2， …an

中取两个组合的全体；同理x^3项系数包含了从n个元素a1，a2， …an中取3

个元素组合的全体。以此类推。


母函数是用于对应一个无穷序列的幂级数，一般来说母函数有形式：


我们称G(x)是序列 g0，g1，g2…………的母函数

for example：
若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。

如果用x的指数表示称出的重量，则：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10

从上面的函数知道，可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端
有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样，6=1+2+3=4+2；
10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1  
同理，对于整数拆分也用类似方法，例如对5进行拆分

整数1 用 函数 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5 (ps 因为所有的1都”一样“，所以两个1时即x^2时系数为1）表示
整数2 用 函数 1+x^2+x^4 表示
整数3 用 函数 1+x^3 表示
整数4 用 函数 1+x^4表示
整数5 用 函数 1+x^5表示

所有的式子相乘，得到x^5的系数即为拆分数
因此程序处理点在于多项式相乘，可用矩阵法，注意优化

程序代码：  AC
#include<stdio.h>
#define N 130
int a[N+1],b[N+1];
int main()
{
 int i,j,n,k;
 while(scanf("%d",&n)!=EOF && n)
 {
  for(i=0;i<=n;i++)
  {a[i]=1;b[i]=0;}
  for(i=2;i<=n;i++)
  {
   for(j=0;j<=n;j++)
    for(k=0;k+j<=n;k+=i)
     b[k+j]+=a[j];
   for(j=0;j<=n;j++)
   {
    a[j]=b[j];b[j]=0;
   }
  }
  printf("%d\n",a[n]); 
 }
 return 0;
}