数学公式汇总

高等数学公式篇

·平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·
积的关系:

sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα

·
倒数关系:

tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1

直角三角形ABC
,
A的正弦值就等于角A的对边比斜边
,
余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边
,



·
三角函数恒等变形公式


·
两角和与差的三角函数:

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·
三角和的三角函数:

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·
辅助角公式:

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)
,其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)
tant=A/B
·
倍角公式:

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·
三倍角公式:

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·
半角公式:

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·
降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·
万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·
积化和差公式:

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·
和差化积公式:

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·
推导公式

tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

·
其他:

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0
以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

三角函数的角度换算
[
编辑本段
]
公式一:

α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin
2kπα)=
sinα
cos
2kπα)=
cosα
tan
2kπα)=
tanα
cot
2kπα)=
cotα

公式二:

α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

sin
πα)=-
sinα
cos
πα)=-
cosα
tan
πα)=
tanα
cot
πα)=
cotα

公式三:

任意角α的三角函数值之间的关系:

sin
(-α)=-sinα   

cos(-α)=cosα
tan
(-α)=-
tanα
cot
(-α)=-
cotα

公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-αα的三角函数值之间的关系:

sin
πα)=sinα  

cosπα)=-cosα   

tanπα)=-tanα   

cotπα)=-cotα

公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-αα的三角函数值之间的关系:

sin
α)=-sinα   

cosα)=cosα  

tanα)=-tanα   

cotα)=-cotα

公式六:
π/2±α
3π/2±αα的三角函数值之间的关系:

sin
π/2α)=cosα   

cosπ/2α)=-sinα   

tanπ/2α)=-cotα  

cotπ/2α)=-tanα
sin
π/2α)=cosα   

cosπ/2α)=sinα   

tanπ/2α)=cotα   

cotπ/2α)=tanα
sin
3π/2α)=-cosα   

cos3π/2α)=sinα   

tan3π/2α)=-cotα   

cot3π/2α)=-tanα
sin
3π/2α)=-cosα   

cos3π/2α)=-sinα   

tan3π/2α)=cotα   

cot3π/2α)=tanα
(
以上k
Z)
部分高等内容
[
编辑本段
]
·
高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)   cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2    tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)1z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+z^n/n!+

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·
三角函数作为微分方程的解:

对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx
,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。

特殊三角函数值

a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tana 0 √3/3 1 √3 None
cota None √3 1 √3/3 0


 

三角函数公式:

·诱导公式:

   函数

A

sin

cos

tg

ctg

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

 

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