HDOJ 1098 Ignatius's puzzle [数学归纳]

求解思路：

f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;

其中题中"f(x)|65"表示对于任意的整数x,f(x)都能被65整除.所以不难推断:f(x+1)|65也成立.

 

f(x+1)=5*(x+1)^13+13*(x+1)^5+k*a*(x+1),

根据二项式定理:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)*b+C(n,2)a^(n-2)*b^2+...+C(n,n)b^n

得：f(x+1)=5*(C(13,0)+C(13,1)*x+C(13,2)*x^2+...+C(13,13)*x^13) + 13*(C(5,0)+C(5,1)*x+...+C(5,5)*x^5) + k*a*(x+1);

 

从中提取出f(x)后得：

f(x+1)=f(x)+5*(C(13,0) + C(13,1)*x+C(13,2)*x^2+...+C(13,12)*x^12) + 13*(C(5,0)+C(5,1)*x+...+C(5,4)*x^4) + k*a;

 

不难看出出了5*C(13,0) 、13*C(5,0)和k*a三项以外，其他项无论x取任意整数都能被65整除,所以如果5*C(13,0) +13*C(5,0)+k*a(相当于18+k*a)能被65整除的话，就可以得出f(x+1)|65了。

 

再验证一下f(1)=5+13+k*a=18+k*a同样适用。

所以最终的问题就是给定一个非负整数k,使得(18+k*a)|65,输出满足此条件的最小的非负整数a。

 

AC代码:

 

#include <iostream> using namespace std; int main() { int k,a; while(cin>>k) { if(k%65==0) { cout<<"no"<<endl; continue; } for(a=0;a<65;++a) { if((a*k)%65==47) { cout << a << endl; break; } } if(a==65) cout << "no" <<endl; } return 0; }