LeetCode（172）Factorial Trailing Zeroes

题目

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

Credits:
Special thanks to @ts for adding this problem and creating all test cases.

分析

题目描述：给定一个整数 n ，求对于 n! 末尾0的个数。

开始看到的时候并没有什么思路，只知道 n!=1∗2∗3∗...∗n

那么末尾 0 是怎么产生的呢，必然是 质因数 2∗5 而导致的结果 ， 又搜索了网上一些资料：

对n!做质因数分解 n!=2x∗3y∗5z∗...

显然 0 的个数等于 min(x,z) ，并且 min(x,z)==z

证明：

对于阶乘而言，也就是 1∗2∗3∗...∗n
[n/k] 代表 1−n 中能被 k 整除的个数
那么很显然
[n/2]>[n/5] (左边是逢2增1，右边是逢5增1)
[n/22]>[n/52] (左边是逢4增1，右边是逢25增1)
……
[n/2p]>[n/5p] (左边是逢 2p 增1，右边是逢 5p 增1)
随着幂次 p 的上升，出现 2p 的概率会远大于出现 5p 的概率。
因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是 n! 质因数分解中， 2 的次幂一定大于 5 的次幂

此时，便很明了了，结果可以表示为：
n! 后缀0的个数 = n! 质因子中5的个数 = floor(n/5)+floor(n/25)+floor(n/125)+....

AC代码

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        while (n)
        {
            count += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return count;
    }
};