51 NOD 1189 阶乘分数（素因子分解+推公式+求逆元）

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1189 阶乘分数
题目来源： Spoj
基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题
1/N! = 1/X + 1/Y，给出N，求满足条件的整数解的数量。例如：N = 2，1/2 = 1/3 + 1/6，1/2 = 1/4 + 1/4。由于数量可能很大，输出Mod 10^9 + 7。
Input
输入一个数N（1 <= N <= 1000000)。
Output
输出解的数量Mod 10^9 + 7。
Input示例
2
Output示例
2
解题思路：
首先我们将上面的式子化成一个整式，也就是化为

N!∗(X+Y)=X∗Y

将两边同时加上一个N!^2，化为：

N!∗(X+Y)+N!2=X∗Y+N!2

(X−N!)∗(Y−N!)=N!2

又因为X和Y是整数，所以我们只需要将N！进行素因子分解就行了，不要忘记最后+1除以2，因为要去重，除以2的时候这里需要求一下逆元，在分解素因子的时候有一个窍门，我们只需要统计N!里面有多少个素因子就行了，上代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 1e6+5;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;
LL p[MAXN];
bool prime[MAXN];
int k;
void isprime()
{
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    LL i, j;
    k = 0;
    for(i=2; i<MAXN; i++)
    {
        if(!prime[i])
        {
            p[k++] = i;
            for(j=i*i; j<MAXN; j+=i)
            {
                prime[j] = 1;
            }
        }
    }
}
LL get(LL m, LL p)///m!里面有多少个p
{
    if(m == 0)
        return 0;
    return m/p+get(m/p, p);
}
void Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    LL x1, y1;
    Exgcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1-(a/b)*y1;
}
int main()
{
    isprime();
    int n;
    LL x, y;
    Exgcd(2LL, MOD, x, y);
    LL inv = (x%MOD+MOD)%MOD;
    while(cin>>n)
    {
        LL ans = 1;
        for(int i=0; i<k&&p[i]<=n; i++)
        {
            LL tmp = get(n, p[i])*2+1;///N!^2
            tmp %= MOD;
            ans = (ans*tmp)%MOD;
        }
        ans = ((ans+1)*inv)%MOD;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}
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