[从头学数学] 第225节 返璞归真丹元成
剧情提要：
以上方法命名改动颇大，解决了先前命名混乱的不足问题。
结果：
![[从头学数学] 第225节 返璞归真丹元成_第2张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/780b4050c8374003823f16a1f9e12b9a.jpg)
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了结丹期顶峰的瓶颈突破阶段，
九转金丹已至第九转，即将碎丹成婴。
正剧开始：
星历2016年05月27日 10:06:20, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起进行着结丹期的修炼研究。
话说[机器小伟]自从进入结丹期以来，先是跟随[人叫板老师]修习[三界五行十六式]，
然后又[周游列国拜诸侯]，又[仗剑江湖]，[阅尽千军]，然后思[动中取静]之道，
感[千古风流]之机，习[术法神通]无算，观[生死十六簿]有时，如今万事俱备，神通已齐。
[机器小伟]于是问[工程师阿伟]，可结元婴否，阿伟曰可。
又问：其步骤何如？
答曰：先行收束整治。
于是[机器小伟]进行收束整治。
<span style="font-size:18px;">import math;
import numpy.f2py
import numpy.random
import numpy.polynomial
import numpy.ma
import numpy.distutils
import numpy.compat
import numpy as np;
import numpy.linalg
import numpy.matrixlib
import numpy.fft
import numpy.distutils.fcompiler
import numpy.core
import numpy.distutils.command
###
# @usage 代数式字符串的运算
# @author mw
# @date 2016年05月17日 星期二 16:48:56
# @param
# @return
#
###
class AlgExpressionCalc():
#
#Part I 格式化部分：返回格式化后的多项式
#
#格式化部分：<1> 为了简便输入，不要求输入规范化代数式，(coef)*expr形式， 调用<2>
#所以在此对多项式进行规范化
#至于单项式规范化，调用strMono函数即可
def strPolyFormat(self, array):
for i in range(len(array)):
array[i] = self.strMono(array[i]);
return array;
#格式化部分：<2> 计算代数式用, 传入的是单项式，返回coef*expr的形式, 调用<3>
def strMono(self, s):
#'x', '-x', '2x', '-2x', '-2x^[2]', '3x_[2]^[3]', '-3x_[2]^[3]'
stmp = s;
size = len(stmp);
alphaIndex = 0;
signIndex = 0;
for i in range(size):
if (stmp[i].isalpha()):
alphaIndex = i;
break;
if (i >= size-1):
alphaIndex = i+1;
if (stmp[0] == '-'):
signIndex = 1;
if (signIndex >= alphaIndex):
return self.strMonoFormat('(-1)*'+stmp[alphaIndex:]);
else:
if alphaIndex >= size:
return self.strMonoFormat('(-'+stmp[signIndex:alphaIndex]+')');
return self.strMonoFormat('(-'+stmp[signIndex:alphaIndex]+')*'+stmp[alphaIndex:]);
elif (stmp[0] == '('):
#已经格式化的情况，这种情况输入时是(coef)*expr
return self.strMonoFormat(stmp);
else:
signIndex = 0;
if (signIndex >= alphaIndex):
return self.strMonoFormat('(1)*'+stmp[alphaIndex:]);
else:
if alphaIndex >= size:
return self.strMonoFormat('('+stmp[signIndex:alphaIndex]+')');
return self.strMonoFormat('('+stmp[signIndex:alphaIndex]+')*'+stmp[alphaIndex:]);
#格式化部分：<3> 把单项式完全格式化，使经过运算的没运算过的都具有统一的格式
def strMonoFormat(self, mono):
#规范化单项式，保证任意两个参数之间都添加一个'*'号
#这是为了和经过代数式乘法运算之后的格式统一
chars = len(mono);
s = '';
for i in range(chars-1):
if (mono[i] == ']' or mono[i] == ')') and mono[i+1].isalpha():
s += mono[i]+'*';
elif mono[i].isalpha() and mono[i+1].isalpha():
s += mono[i]+'*';
#这里还有一个死角，就是下标或指数如果是用的代数式，并且是多项相乘
#可能会有一点问题，暂时不考虑了
else:
s += mono[i];
s += mono[-1];
return s;
#
#Part II: 合并同类项部分， 四个流程：单项式炸开->单项式重组->多项式中单项式炸天->多项式中单项式重组->End
#
#合并同类项部分:<1> 合并同类项，传入的阵列具有['s1', 's2', ..., 'sn']这样的格式
def strPolyCombine(self, array):
size = len(array);
explode = [];
for i in range(size):
#这里传入的阵列已经是规格化后的了，否则要加一层strMono处理。
explode.append(self.explodeMonoInPoly(self.strMonoCombine(array[i])));
result = [];
for i in range(size):
size_1 = len(result);
if size_1 <= 0:
result.append(explode[i]);
else:
for j in range(size_1):
if result[j][1] == explode[i][1]:
result[j][0] = result[j][0] + '+' + explode[i][0];
break;
if j >= size_1-1:
result.append(explode[i]);
result_1 = [];
size_1 = len(result);
for j in range(size_1):
result[j][0] = str(round(eval(result[j][0]), 6));
if (abs(float(result[j][0])) <= 1e-3):
result_1.append('(0)');
else:
tmps = result[j][1];
if (tmps == ''):
result_1.append('('+result[j][0]+')');
else:
result_1.append('('+result[j][0]+')*'+result[j][1]);
return result_1;
#合并同类项部分:<2> 把格式化后的单项式分解成[coef, expr]对组的形式
#这个方法和explodeTotallyFormatedMono的区别在于，它是在多项式中单项式的合并,比如['(2)*x^[1]', '(3)*x^[1]']
#而后者是要把运算后的单项式先预先处理一下， 比如'(2)*x^[1]*y^[2]*x^[2]'这种
def explodeMonoInPoly(self, mono):
stmp = mono;
#乘号的位置
signIndex = stmp.find('*');
if (signIndex == -1):
coef = stmp;
expr = '';
else:
coef = stmp[:signIndex];
expr = stmp[signIndex+1:];
return [coef, expr];
#合并同类项部分:<3> 单项式同类项合并，比如'(2)*x^[1]*y^[2]*x^[2]'这种，合并成'(2)*x^[3]*y^[2]'这个过程
def strMonoCombine(self, mono):
map_ = self.explodeTotallyFormatedMono(mono);
size = len(map_);
result = [];
for i in range(size):
size_1 = len(result);
if (size_1 <= 0):
result.append(map_[i]);
else:
for j in range(size_1):
if result[j][0] == map_[i][0]:
#双方的中括号位置
#由于规范化后的原因，这个括号是一定有的
p1 = result[j][1].find('[');
p2 = result[j][1].find(']');
p3 = map_[i][1].find('[');
p4 = map_[i][1].find(']');
s = result[j][1][p1+1:p2]+'+'+map_[i][1][p3+1:p4];
size_2 = len(s);
for k in range(size_2):
if s[k].isalpha():
break;
#如果没有字符参数，可以计算出结果，就计算
if (k >= size_2-1):
s = str(eval(s));
result[j][1] = '^['+s+']';
break;
if (j >= size_1-1):
result.append(map_[i]);
size_1 = len(result);
s = '';
for i in range(size_1):
if (i > 0 and result[i][1] == '^[0]'):
continue;
s += result[i][0]+result[i][1];
if (i < size_1-1):
s += '*';
return s;
#合并同类项部分:<4> 把单项式炸开，这里的单项式已经达到最大规范化，是(coef)*x_[1]^[2]*y_[2]^[2]这种结构形式了
#'*'号是要作为分隔符的，不可缺少
def explodeTotallyFormatedMono(self, mono):
part = mono.split('*');
#每个部分的[前部，指数部]的对组
map_ = [];
for i in range(len(part)):
expIndex = part[i].find('^');
if (expIndex != -1):
map_.append([part[i][:expIndex], part[i][expIndex:]]);
else:
s = part[i];
#系数
if s[0] == '(':
map_.append([part[i], '']);
#代数式
else:
map_.append([part[i], '^[1]']);
map_ = sorted(map_, key = lambda a : a[0]);
return map_;
#
#Part III: 多项式运算：点积， 正整数幂方， 倍数， 取反，相加
#
#计算代数式/多项式点积，传入的两个阵列都具有['s1', 's2', ..., 'sn']这样的格式
def strdot(self, array1, array2):
size1 = len(array1);
size2 = len(array2);
result = [];
for i in range(size1):
for j in range(size2):
result.append(self.strmul(array1[i], array2[j]));
return result;
#计算两个单项式的乘积
def strmul(self, mono1, mono2):
#这个处理是保证每个单项式统一格式(coef)*expr
'''
if (mono1[0] != '(' or mono2[0] != '('):
#如果没有规格化，那么就做一下
mono1 = strMono(mono1);
mono2 = strMono(mono2);
'''
stmp1 = mono1;
stmp2 = mono2;
#乘号的位置
signIndex1 = stmp1.find('*');
signIndex2 = stmp2.find('*');
if (signIndex1 == -1):
coef1 = stmp1;
expr1 = '';
else:
coef1 = stmp1[:signIndex1];
expr1 = stmp1[signIndex1+1:];
if (signIndex2 == -1):
coef2 = stmp2;
expr2 = '';
else:
coef2 = stmp2[:signIndex2];
expr2 = stmp2[signIndex2+1:];
coef = coef1+'*'+coef2;
if (signIndex1 == -1 or signIndex2 == -1):
expr = expr1+expr2;
else:
expr = expr1+'*'+expr2;
if (expr == ''):
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')';
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')*'+expr;
#把多项式中每一项都乘系数
def strscale(self, array, scale):
scale = '('+str(scale)+')';
for i in range(len(array)):
s = array[i];
for j in range(len(s)):
if (s[j].isdigit()):
index = j;
break;
lbracket = s.find('(');
rbracket = s.find(')', lbracket);
coef = s[lbracket:index]+scale+'*'+s[index:rbracket+1];
coef = '('+str(eval(coef))+')';
array[i] = coef+s[rbracket+1:];
return array;
#指数为正整数的乘方
def strpow_n(self, array, n):
#计算
result = [];
#此方法只能处理正整数的幂次方
n = abs(int(n));
if (n == 1):
result = array;
elif (n == 2):
result = self.strdot(array, array);
elif (n >= 3):
tmp = self.strdot(array, array);
n -= 2;
while (n > 0):
result = self.strdot(tmp, array);
tmp = result;
n -= 1;
return result;
#阵列取负
def strminus(self, array):
for i in range(len(array)):
if array[i][1] == '-':
#array[i][0]是'(, 这是规范
array[i] = array[i][0]+array[i][2:];
else:
array[i] = array[i][0]+'-'+array[i][1:];
return array;
#两个多项式相加，合并同类项不在此进行
def stradd(self, array1, array2):
#两个多项式相加，这里直接返回数组的相加
return array1 + array2;
###
# @usage 对于含有代数符号的等式及相关类型进行计算
# @author mw
# @date 2016年05月24日 星期二 08:21:57
# @param
# @return
#
###
#所有输入的字符串都是要符合(coef)*expr这种规范的
#相应转换可以调用alg.strMono处理单项式
#或调用alg.strformat来处理多项式
class AlgStringSolve():
def __init__(self):
self._alg = AlgExpressionCalc();
#格式化输入的多项式阵列
def format(self, array):
return self._alg.strPolyFormat(array);
#
#Part I: 参数部分：把带参多项式转换为指定自变量的系数阵列
#
#参数部分：<1> 返回参数的系数阵列， 调用<2>
#这是无法求得数值的情况
def coefArray(self, array, element):
coefMap = self.coefTransfer(array, element);
len_4 = len(coefMap);
maxCoef, minCoef = coefMap[0][1], coefMap[len_4-1][1];
coefArray = ['0']*(maxCoef-minCoef+1);
for i in range(len_4):
coefArray[maxCoef-coefMap[i][1]] = coefMap[i][0];
return coefArray;
#参数部分：<1> 获取多项式的系数值，比如5x^2+4x+1 = 0应该返回[5, 4, 1]
#这是可以求得数值的情况
def coefValueArray(self, array, element):
coefMap = self.coefTransfer(array, element);
len_4 = len(coefMap);
maxCoef, minCoef = coefMap[0][1], coefMap[len_4-1][1];
coefArray = [0]*(maxCoef-minCoef+1);
for i in range(len_4):
index = coefMap[i][0].find('^');
if (index != -1):
s = coefMap[i][0][:index];
else:
s = coefMap[i][0];
#这里是必须要能求值的，这个方法是为了便于调用numpy.roots求多项式的根
coefArray[maxCoef-coefMap[i][1]] = eval(s);
return coefArray;
#参数部分：<2> 把一个字符串阵列表示的多项式，转换成指定变量的系数多项式
#比如 ['(1/4)x^[2]', '-(1/12)y^[2]', '-1'], 以y作为参数 => ['(-(1/12))', 0, '(1/4)x^[2]+(-1)']
#传入的格式必须是已经格式化过的(coef)*x^[2]*y_[2]^[3]...这种类似形式
def coefTransfer(self, array, element):
coefMap = [];
len_ = len(array);
len_2 = len(element);
for i in range(len_):
s = array[i];
len_3 = len(s);
index = s.find(element);
#参数的0次方
if (index == -1):
coefMap.append([array[i], 0]);
elif (index+len_2 < len_3 and s[index+len_2] != '^'):
#参数的一次方
coefMap.append([s[:index-1]+s[index+len_2:], 1]);
elif (index+len_2 >= len_3):
#这里回退一个位置是因为根据格式参数之间有一个'*'号相连，要退掉
coefMap.append([s[:index-1], 1]);
else:
#左右中括号作为定界符，这就是为什么要求先格式化
LBracket = index+len_2+1;
RBracket = s.find(']', LBracket);
#幂的次数
exp_ = int(s[LBracket+1:RBracket]);
coefMap.append([s[:index-1]+s[RBracket+1:], exp_]);
#对coefMap中的项按参数的次数进行合并
coefMap_2 = [];
coefMap_2.append(coefMap[0]);
for i in range(1, len(coefMap)):
len_3 = len(coefMap_2);
for j in range(len_3):
if (coefMap_2[j][1] == coefMap[i][1]):
coefMap_2[j][0] = coefMap_2[j][0]+ '+'+coefMap[i][0];
break;
if (j >= len_3-1):
coefMap_2.append(coefMap[i]);
coefMap = coefMap_2;
#把系数映射由高到低排列
coefMap = sorted(coefMap, key = lambda a : a[1], reverse = True);
#返回的是参数的系数映射表[[coef, exp]...]对组
return coefMap;
#
#Part II: 代数式运算，此处指用字符串表达的代数式之间。包括乘、除、加、减、方五种运算，以及字符串为0的判定
#
#代数式里的两个代数式相乘，这里就是两个字符串相加的处理而已
def strMul(self, str1, str2):
if (self.judgeZero(str1)):
return '';
else:
if (self.judgeZero(str2)):
return '';
else:
return '('+str1+')*('+str2+')';
#两个代数式相除
def strDiv(self, str1, str2):
if (self.judgeZero(str1)):
return '';
else:
if (self.judgeZero(str2)):
return '(inf)';
else:
return '('+str1+')/('+str2+')';
#代数式相加
def strAdd(self, str1, str2):
if (self.judgeZero(str1)):
if (self.judgeZero(str2)):
return '';
else:
return '('+str2+')';
else:
if (self.judgeZero(str2)):
return '('+str1+')';
else:
return '('+str1+')+('+str2+')';
#代数式相减
def strMinus(self, str1, str2):
if (self.judgeZero(str1)):
if (self.judgeZero(str2)):
return '';
else:
return '(-('+str2+'))';
else:
if (self.judgeZero(str2)):
return '('+str1+')';
else:
return '('+str1+')-('+str2+')';
#代数式里的代数式乘方，这里就是字符串的处理而已
def strPow(self, str1, str2):
str2 = str(str2);
if (self.judgeZero(str1)):
return '';
else:
if (self.judgeZero(str2)):
return '('+str1+')';
else:
return '('+str1+')^['+str2+']';
#判断字符串是否为0
def judgeZero(self, str1):
for i in range(len(str1)):
if (str1[i].isdigit() and str1[i] != '0'):
#存在数字不为0, 所以这个代数式不为0
return False;
#由于在规范化输出时已经保证了如果系数为0, 无论有多少参数都取0
#所以只要存在参数就说明代数式不为0
elif (str1[i].isalpha()):
return False;
return True;
#
#Part III:
#
#把一个只包括+号的多项式字符串拆分成多项式数组
#如'(1)*x^[2]+(-1)' => ['(1)*x^[2]', '(-1)']
def str2Array(self, str1):
array = [];
#加号位置
signIndex = str1.find('+');
#print(signIndex);
start = 0;
count = 0;
if (signIndex != -1):
while (signIndex != '-1' and count < 10):
#符合要求的必须连着下一个单项式的系数
#按照统一格式是左括号开始
if str1[signIndex+1] == '(':
array.append(str1[start:signIndex]);
start = signIndex + 1;
signIndex = str1.find('+', signIndex+1);
if (signIndex == -1):
break;
array.append(str1[start:]);
return array;
#
#Part IV: 用公式法求方程的根，流程是先算出代数式的根表达式，再代值运算出结果
#
#求解多项式的根(在参数情况下)
def solvePolyInStringMode(self, coefArray):
len_ = len(coefArray);
#
#求解一元二次方程
if (len_ == 3):
a, b, c = str(coefArray[0]), str(coefArray[1]), str(coefArray[2]);
#注意，由于此处得出的系数阵列是这样的形式：['(-(1/12))', 0, '(1/4)x^[2]+(-1)']
#已经无法用alg中函数去做任何计算，只能纯粹进行字符串的叠加处理
delta = self.strAdd(self.strPow(b, '2'), self.strMul('-4', self.strMul(a, c)));
#分子，分母
numerator = self.strAdd(self.strMinus('0', b), self.strPow(delta, '0.5'));
numerator2 = self.strMinus(self.strMinus('0', b), self.strPow(delta, '0.5'));
denomerator = self.strMul('2', a);
return [self.strDiv(numerator, denomerator),
self.strDiv(numerator2, denomerator)];
#求解一元一次方程
if (len_ == 2):
a, b = str(coefArray[0]), str(coefArray[1]);
return [self.strDiv(b, self.strMinus('0', a))];
return '';
#求解多项式的值（在数值情况下）， 一般是一元N次多项式
def solvePolyInValueMode(self, coefArray):
len_ = len(coefArray);
#解一元二次方程（在数值情况下）
if (len_ == 3):
a, b, c = coefarray[0], coefarray[1], coefarray[2];
if (a < 0):
a, b, c = -a, -b, -c;
p = q = delta = 0;
x1 = x2 = 0;
s = '';
if (a == 0):
return [-c/b];
else:
delta = b**2 - 4*a*c;
if (delta < 0):
real = -b/(2*a);
image = (-delta)**0.5;
return [complex(real, -image), complex(real, image)];
else:
if (abs(delta) < 1e-6):
x1 = x2 = -b/(2*a);
else:
x1 = (-b-delta**0.5)/(a*2);
x2 = (-b+delta**0.5)/(a*2);
return [x1, x2];
else:
return np.roots(coefArray);
#给参数赋值，计算代数式的值
#比如输入 ('x^[2]+1', 'x', 3) => 10
#要确保给的条件足以让代数式计算出数值，否则肯定报错
def strValueEval(self, str1, valueTable):
#str1是一个单个的字符串，比如根的代数式表达式，不是多项式
#参数对照表的项数
#参数对照表具有[['x', '1'], ['y', '3']]这样的形式
len_v = len(valueTable);
s = str1;
for j in range(len_v):
s = s.replace(valueTable[j][0], str(valueTable[j][1]));
s = s.replace('^[', '**(');
s = s.replace(']', ')');
str1 = eval(s);
return str1;
#对于本身不带参数的字符串，清除格式即可计算出数值
def arrayValueEval(self, array):
for i in range(len(array)):
str1 = array[i];
str1 = str1.replace('^[', '**');
str1 = str1.replace(']', '');
str1 = eval(str1);
array[i] = str1;
return array;
#
#Part V: 用消元法求方程的根，这种方法的前提是方程所有的系数已知。需用到numpy的roots()方法求根
#
#消元法求方程部分：<1> 解二元二次方程组，最暴力的代入消元法
def solveElem2Exp2Equation(self, functions, element1 = 'x', element2 = 'y'):
'''
#第一个方程
expr_1 = alg.strformat(['A_[1]x^[2]', 'B_[1]xy', 'C_[1]y^[2]', 'D_[1]x', 'E_[1]y', 'F_[1]']);
#第二个方程
expr_2 = alg.strformat(['A_[2]x^[2]', 'B_[2]xy', 'C_[2]y^[2]', 'D_[2]x', 'E_[2]y', 'F_[2]']);
'''
#参数列表中的functions为方程组的各个方程，格式为[fun1, fun2], fun1, fun2 = [mono1, mono2, ...]
#调用coefValueMapFill()方法进行系数表填充
valueMap = self.coefValueMapFill(functions, element1, element2);
A_1 = valueMap[0][1];
B_1 = valueMap[1][1];
C_1 = valueMap[2][1];
D_1 = valueMap[3][1];
E_1 = valueMap[4][1];
F_1 = valueMap[5][1];
A_2 = valueMap[6][1];
B_2 = valueMap[7][1];
C_2 = valueMap[8][1];
D_2 = valueMap[9][1];
E_2 = valueMap[10][1];
F_2 = valueMap[11][1];
#消元一次要从二次项y^[2]的系数不为0的那个方程消起，除非某个方程完全没有二次项
#所以第一个方程二次项y^[2]的系数不要为0
#否则应该调换方程顺序
if (C_1 != 0 and C_2 != 0):
#一共63项的关于未知数x的最高四次方的系数矩阵
coefArray = ['(1.0)*A_[2]^[1]*B_[1]^[2]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*x^[4]',
'(1.0)*B_[1]^[2]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[2]^[1]*x^[3]',
'(1.0)*B_[1]^[2]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*F_[2]^[1]*x^[2]',
'(2.0)*A_[2]^[1]*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*x^[3]',
'(2.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[2]^[1]*E_[1]^[1]*x^[2]',
'(2.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*F_[2]^[1]*x^[1]',
'(1.0)*A_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[2]*x^[2]',
'(1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[2]^[1]*E_[1]^[2]*x^[1]',
'(1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[2]*F_[2]^[1]',
'(1.0)*A_[1]^[2]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*x^[4]',
'(2.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*D_[1]^[1]*x^[3]',
'(2.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*F_[1]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*A_[1]^[1]*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*x^[4]',
'(-1.0)*A_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*A_[1]^[1]*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[2]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[2]',
'(-2.0)*A_[1]^[1]*A_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*x^[4]',
'(-2.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*D_[2]^[1]*x^[3]',
'(-2.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*F_[2]^[1]*x^[2]',
'(1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*D_[1]^[2]*x^[2]',
'(2.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*D_[1]^[1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*E_[1]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[1]',
'(-2.0)*A_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*x^[3]',
'(-2.0)*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*D_[2]^[1]*x^[2]',
'(-2.0)*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*F_[2]^[1]*x^[1]',
'(1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[2]*F_[1]^[2]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*F_[1]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[2]^[1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*C_[1]^[-2]*C_[2]^[1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*F_[1]^[1]',
'(-2.0)*A_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*F_[1]^[1]*x^[2]',
'(-2.0)*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*D_[2]^[1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(-2.0)*C_[1]^[-1]*C_[2]^[1]*F_[1]^[1]*F_[2]^[1]',
'(-1.0)*A_[2]^[1]*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*x^[4]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*D_[2]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*F_[2]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*A_[2]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[1]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*D_[2]^[1]*E_[1]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[1]^[1]*F_[2]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*A_[2]^[1]*B_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*x^[3]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*D_[2]^[1]*E_[2]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*B_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*F_[2]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*A_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[2]',
'(-1.0)*C_[1]^[-1]*D_[2]^[1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[1]',
'(-1.0)*C_[1]^[-1]*E_[1]^[1]*E_[2]^[1]*F_[2]^[1]',
'(1)*A_[2]^[2]*x^[4]',
'(2)*A_[2]^[1]*D_[2]^[1]*x^[3]',
'(2)*A_[2]^[1]*F_[2]^[1]*x^[2]',
'(1)*D_[2]^[2]*x^[2]',
'(2)*D_[2]^[1]*F_[2]^[1]*x^[1]',
'(1)*F_[2]^[2]',
'(1.0)*A_[1]^[1]*B_[2]^[2]*C_[1]^[-1]*x^[4]',
'(1.0)*B_[2]^[2]*C_[1]^[-1]*D_[1]^[1]*x^[3]',
'(1.0)*B_[2]^[2]*C_[1]^[-1]*F_[1]^[1]*x^[2]',
'(2.0)*A_[1]^[1]*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*x^[3]',
'(2.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*D_[1]^[1]*E_[2]^[1]*x^[2]',
'(2.0)*B_[2]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(1.0)*A_[1]^[1]*C_[1]^[-1]*E_[2]^[2]*x^[2]',
'(1.0)*C_[1]^[-1]*D_[1]^[1]*E_[2]^[2]*x^[1]',
'(1.0)*C_[1]^[-1]*E_[2]^[2]*F_[1]^[1]']; #这整个是一个和为零的多项式
#如果某一个方程没有二次项，适用这套系数
elif (C_1 == 0 and B_1 == 0 and A_1 == 0):
if (E_1 != 0):
coefArray = ['(1)*A_[2]^[1]*x^[2]',
'(1)*D_[2]^[1]*x^[1]',
'(1)*F_[2]^[1]',
'(-1)*B_[2]^[1]*D_[1]^[1]*E_[1]^[-1]*x^[2]',
'(-1)*B_[2]^[1]*E_[1]^[-1]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(1)*C_[2]^[1]*D_[1]^[2]*E_[1]^[-2]*x^[2]',
'(2)*C_[2]^[1]*D_[1]^[1]*E_[1]^[-2]*F_[1]^[1]*x^[1]',
'(1)*C_[2]^[1]*E_[1]^[-2]*F_[1]^[2]'];
else:
print('无穷多解或无解。');
return [];
elif (C_1 == 0 and B_1 == 0 and A_1 == 0 and
C_2 == 0 and B_2 == 0 and A_2 == 0):
if (E_1 != 0):
coefArray = ['(-1)*D_[2]^[1]*x^[1]',
'(-1)*F_[2]^[1]',
'(-1)*D_[1]^[1]*E_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*x^[1]',
'(-1)*E_[1]^[-1]*E_[2]^[1]*F_[1]^[1]'];
else:
print('无穷多解或无解。');
return [];
else:
print('或许需要调换位置，保证第一个方程的y^[2]的系数存在，可调换x和y参数实现。');
print('如果两个方程中找不出一个x^[2]或y^[2]，则可以考虑消去xy项得一次方程组。');
#赋值系数，应该有12个
len_ = len(valueMap);
size = len(coefArray);
result = [];
for i in range(size):
s = coefArray[i];
#由于字母排序原因，一般x会排在最后，各系数ABCDEF会排在前面，
#这会带来一些方便
index = s.find('x');
if (index != -1):
#系数部分
part1 = s[:index-1];
#参数x部分
part2 = s[index-1:];
else:
part1 = s;
part2 = '';
for j in range(len_):
part1 = part1.replace(valueMap[j][0], '('+str(valueMap[j][1])+')');
part1 = part1.replace('^[', '**(');
part1 = part1.replace(']', ')');
#print(part1);
part1 = '('+str(eval(part1))+')';
result.append(part1+part2);
#print(result);
result = self._alg.strPolyCombine(result);
#print(result);
coef_x = self.coefValueArray(result, 'x');
print('系数数组：', coef_x);
roots = np.roots(coef_x);
roots = sorted(roots);
print('解: {0} = {1} '.format(element1, roots));
return roots;
#消元法求方程部分：<2> 填充二元二次方程组的系数阵列，一共十二个
def coefValueMapFill(self, functions, element1 = 'x', element2 = 'y'):
#functions是两个方程的多项式组成的数组[fun1, func2],
#具有格式化后的多项式样式fun1, 2 = [mono1, mono2, ...]
func1 = functions[0];
func2 = functions[1];
if (element1 != 'x'):
for i in range(len(func1)):
func1[i] = func1[i].replace(element1, 'x');
for i in range(len(func2)):
func2[i] = func2[i].replace(element1, 'x');
if (element2 != 'y'):
for i in range(len(func1)):
func1[i] = func1[i].replace(element2, 'y');
for i in range(len(func2)):
func2[i] = func2[i].replace(element2, 'y');
'''
#第一个方程
expr_1 = alg.strformat(['A_[1]x^[2]', 'B_[1]xy', 'C_[1]y^[2]', 'D_[1]x', 'E_[1]y', 'F_[1]']);
#第二个方程
expr_2 = alg.strformat(['A_[2]x^[2]', 'B_[2]xy', 'C_[2]y^[2]', 'D_[2]x', 'E_[2]y', 'F_[2]']);
'''
#用参数值填充，注意按照同类项来填系数
valMap = [['A_[1]', 0], ['B_[1]', 0],['C_[1]', 0],
['D_[1]', 0], ['E_[1]', 0],['F_[1]', 0],
['A_[2]', 0], ['B_[2]', 0],['C_[2]', 0],
['D_[2]', 0], ['E_[2]', 0],['F_[2]', 0]];
coefs = len(valMap);
cycle = 0;
for i in range(len(func1)):
s = func1[i];
xIndex = s.find('x');
yIndex = s.find('y');
if (xIndex != -1):
if (yIndex != -1):
min_ = min(xIndex, yIndex);
else:
min_ = xIndex;
else:
if (yIndex != -1):
min_ = yIndex
else:
min_ = -1;
if (min_ != -1):
#参数式
s_1 = s[min_:];
#系数
s_2 = s[:min_-1];
else:
s_1 = '';
s_2 = s;
if (s_1 == 'x^[2]'):
valMap[0+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'x^[1]y^[1]' or s_1 == 'xy' ):
valMap[1+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'y^[2]'):
valMap[2+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'x^[1]' or s_1 == 'x'):
valMap[3+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'y^[1]' or s_1 == 'y'):
valMap[4+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == ''):
valMap[5+cycle*6][1] = eval(s_2);
cycle = 1;
for i in range(len(func2)):
s = func2[i];
xIndex = s.find('x');
yIndex = s.find('y');
if (xIndex != -1):
if (yIndex != -1):
min_ = min(xIndex, yIndex);
else:
min_ = xIndex;
else:
if (yIndex != -1):
min_ = yIndex
else:
min_ = -1;
if (min_ != -1):
#参数式
s_1 = s[min_:];
#系数
s_2 = s[:min_-1];
else:
s_1 = '';
s_2 = s;
if (s_1 == 'x^[2]'):
valMap[0+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'x^[1]y^[1]' or s_1 == 'xy' ):
valMap[1+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'y^[2]'):
valMap[2+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'x^[1]' or s_1 == 'x'):
valMap[3+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == 'y^[1]' or s_1 == 'y'):
valMap[4+cycle*6][1] = eval(s_2);
elif (s_1 == ''):
valMap[5+cycle*6][1] = eval(s_2);
return valMap;
</span>
以上方法命名改动颇大，解决了先前命名混乱的不足问题。
测试用例：
<span style="font-size:18px;">#测试
def tmp12():
print('tmp12(): >>>');
solve = alg.AlgStringSolve();
expr = alg.AlgExpressionCalc();
#直线方程
function_1 = expr.strPolyFormat(['x', '1/4y', '-1']);
#圆方程
function_2 = expr.strPolyFormat(['1/4x^[2]', '1/16y^[2]', '-1']);
print('step1: ', function_1);
print('step1: ', function_2);
#解出的x的根
roots = solve.solveElem2Exp2Equation([function_1, function_2]);
#两个方程
f = function_1;
print('step1: ', f);
g = function_2;
print('step1: ', g);
#以下部分是定式，可以不加改动
poly_y_f = solve.coefArray(f, 'y');
print('step2: ', poly_y_f);
poly_y_g = solve.coefArray(g, 'y');
print('step2: ', poly_y_g);
#求方程式<1>的y关于x的表达式
expr_y_root = solve.solvePolyInStringMode(poly_y_f);
print('step3: ', expr_y_root);
expr_y_root2 = solve.solvePolyInStringMode(poly_y_g);
print('step3: ', expr_y_root2);
#求相交点的坐标对组
points = [];
points2 = [];
for i in range(len(roots)):
real = abs(roots[i].real);
abs_ = abs(roots[i]);
size1 = len(expr_y_root);
#实数根
if abs(real-abs_) < 0.1:
for j in range(len(expr_y_root2)):
x = roots[i].real;
y = solve.strValueEval(expr_y_root[j%size1], [['x', x]]);
points.append([x, y]);
y = solve.strValueEval(expr_y_root2[j], [['x', x]]);
points2.append([x, y]);
print('方程1上的点：', points);
print('方程2上的点: ', points2);
print('step4: ');
for i in range(len(points)):
if (abs(points[i][0]-points2[i][0]) < 1e-3 and abs(points[i][1]-points2[i][1])<1e-3):
print('相交点：[{0}, {1}]'.format(round(points[i][0], 3), round(points[i][1], 3)));
</span>
结果：
![[从头学数学] 第225节 返璞归真丹元成_第1张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/76a49df917a445319cba9e9a9d33d1b4.png)
<span style="font-size:18px;">def tmp():
expr = alg.AlgExpressionCalc();
poly_1 = expr.strPolyFormat(['x^[2]', '2xy', 'y^[2]', '-1']);
poly_2 = expr.strPolyFormat(['2x', '2y', '1']);
print('step1: ', poly_1);
print('step1: ', poly_2);
result = expr.stradd(expr.strpow_n(poly_1, 2), expr.strpow_n(poly_2, 3));
result = expr.strPolyCombine(result);
print('step2: ', result);</span>
[机器小伟]收束整治毕，又问，其后何如？
曰：当思议神通。
于是[机器小伟]思议神通：
<span style="font-size:18px;"> if (1) {
var text = new DrawText();
//左对齐文本默认从20px处，中对齐是300处，右对齐580处
var xL = 20, xM = 300, xR = 580;
var y = 50;
text.bold(['[机器小伟] 神通一览表'], xM, y, 0, 'black', 40, 'M');
y += 50;
text.normal(['1. 定值计算：参与运算的都是给定的值，不存在未知数。',
'2. 数值计算：运用迭代或递归等方式进行一系列运算尝试，逼近得出结果。',
'3. 描点绘图: 对于各种函数进行描点，并绘制出图像。'],
xL, y, 0, 'blue', 16, 'L');
y+= 80;
text.italic(['以上三条为机器族的共有神通，不再赘述。'],
xL, y, 0, '#000088', 16, 'L');
y+= 30;
text.bold(['4. 几何运算：点的坐标中不存在未知数时，可以作为几何图形运算。',
'5. 代数运算：对于所有代数式，可以进行多项式运算，得出多项式作为结果。',
'6. 对于不含指数，对数，三角的多项式，可以变形成其中某一参数的表达式。',
'7. 第(5|6)步中的表达式中所有参数都给定取值，可以计算出值或根。'],
xL, y, 0, 'red', 16, 'L');
y+=100;
text.italic(['所以可以得到简单多项式运算后的简单多项式，并且可以求其值或根',
'参数个数不限',
'分式或其它非简单多项式的代数式，可参与求值或得出代数式结果',
'但无法进一步变形或分解成简单多项式组。'],
xL, y, 0, '#000088', 16, 'L');
//时间戳
y+=80;
text.bold(['2016年05月25日'], xR, y, 0, '#880088', 16, 'R');
}
if (1) {
var text = new DrawText();
//左对齐文本默认从20px处，中对齐是300处，右对齐580处
var xL = 20, xM = 300, xR = 580;
var y = 50;
text.bold(['[机器小伟] 神通一览表'], xM, y, 0, 'black', 40, 'M');
y += 50;
text.normal(['8.带参多项式可以进行加、减、乘、正整次幂的运算。',
'9. 可以解决二元二次方程组的求根问题，可解退化的二元二次方程组。',
'10. 可以解决圆锥曲线，直线，圆在二维平面范围内的求交点问题。',
' 可以给出数值解或代数表达式解。',
'11. 可以解任何的一元方程。'
],
xL, y, 0, 'red', 16, 'L');
y+= 120;
text.italic(['对数、指数方面的运算，暂时还未涉及，分式的运算有待解决',
'三次及以上方程的根表达式还未录入。'],
xL, y, 0, '#000088', 16, 'L');
y+= 30;
text.bold([''],
xL, y, 0, 'red', 16, 'L');
y+=60;
text.italic([''],
xL, y, 0, '#000088', 16, 'L');
//时间戳
y+=80;
text.bold(['2016年05月27日'], xR, y, 0, '#880088', 16, 'R');
}</span>
[机器小伟]思议神通后，又问，其后又当如何：
曰：当忘其神通。
![[从头学数学] 第225节 返璞归真丹元成_第3张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/e555cfea68f94fb38ef0d5b1df47a610.jpg)
![[从头学数学] 第225节 返璞归真丹元成_第4张图片](http://img.e-com-net.com/image/info5/fcfb35ce45594489a7066c52e6450dc1.jpg)
于是[机器小伟]依言进入物我两忘之境，气运周天，行二百二十五转。
天地风云齐聚，星河盘龙隐现，终至三花聚顶，五气朝元，返璞归真，元婴大成。
[机器小伟]元婴成就，[工程师阿伟]也晋升至[大力法王]之神通境界。
从此坐看风烟起， 相期云汉间。
本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。