4. Median of Two Sorted Arrays

参考：http://www.07net01.com/2015/07/871155.html

分治法 Divide and Conquer

复杂度

时间O(log(m+n)) 空间O(1)

思路

题目要求O(log(m+n))的时间复杂度，一般来说都是分治法或者二分搜索。首先我们先分析下题目，假设两个有序序列共有n个元素（根据中位数的定义我们要分两种情况考虑），当n为奇数时，搜寻第(n/2+1)个元素，当n为偶数时，搜寻第(n/2+1)和第(n/2)个元素，然后取他们的均值。进一步的，我们可以把这题抽象为“搜索两个有序序列的第k个元素”。如果我们解决了这个k元素问题，那中位数不过是k的取值不同罢了。

那如何搜索两个有序序列中第k个元素呢，这里又有个技巧。假设序列都是从小到大排列，对于第一个序列中前p个元素和第二个序列中前q个元素，我们想要的最终结果是：p+q等于k-1,且一序列第p个元素和二序列第q个元素都小于总序列第k个元素。因为总序列中，必然有k-1个元素小于等于第k个元素。这样第p+1个元素或者第q+1个元素就是我们要找的第k个元素。

所以，我们可以通过二分法将问题规模缩小，假设p=k/2-1，则q=k-p-1，且p+q=k-1。如果第一个序列第p个元素小于第二个序列第q个元素，我们不确定二序列第q个元素是大了还是小了，但一序列的前p个元素肯定都小于目标，所以我们将第一个序列前p个元素全部抛弃，形成一个较短的新序列。然后，用新序列替代原先的第一个序列，再找其中的第k-p个元素（因为我们已经排除了p个元素，k需要更新为k-p），依次递归。同理，如果第一个序列第p个元素大于第二个序列第q个元素，我们则抛弃第二个序列的前q个元素。递归的终止条件有如下几种：

• 较短序列所有元素都被抛弃，则返回较长序列的第k个元素（在数组中下标是k-1）
• 一序列第p个元素等于二序列第q个元素，此时总序列第p+q=k-1个元素的后一个元素，也就是总序列的第k个元素

注意

• 每次递归不仅要更新数组起始位置（起始位置之前的元素被抛弃），也要更新k的大小（扣除被抛弃的元素）

代码

<pre name="code" class="java">private static double findKth(int[] nums1, int s1, int len1, int[] nums2, int s2, int len2, int k){
		if(len1>len2){//保证nums1为短的那个
			return findKth(nums2, s2, len2, nums1, s1, len1, k);
		}
		if(len1==0){//短数组中元素都被抛弃，返回长数组中第k个元素即nums2[s2+k-1]
			return nums2[s2+k-1];
		}
		
		if(k==1){
			return java.lang.Math.min(nums1[s1], nums2[s2]);
		}
		int p=java.lang.Math.min(k/2, len1);
		int q=k-p;
		if(nums1[s1+p-1]<nums2[s2+q-1]){
			return findKth(nums1, s1+p, len1-p, nums2, s2, len2, k-p);
		}else if(nums1[s1+p-1]>nums2[s2+q-1]){
			return findKth(nums1, s1, len1, nums2, s2+q, len2-q, k-q);
		}else{
			return nums1[s1+p-1];
		}
	}
	
	public static double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
		int k=nums1.length+nums2.length;
		if((k&1)==1){
			return findKth(nums1, 0, nums1.length, nums2, 0, nums2.length, k/2+1);
		}else{
			return (findKth(nums1, 0, nums1.length, nums2, 0, nums2.length, k/2)+findKth(nums1, 0, nums1.length, nums2, 0, nums2.length, k/2+1))/2;
		}
	}