SCU 4519 来个签到吧 （exgcd推广+概率dp）

题目传送门：http://acm.scu.edu.cn/soj/problem.action?id=4519
这题开头给你一些球，然后把任意球的编号之差 |x−y| 的求加入进去，然后加满球之后，问你把所有球都取出来过一遍的期望是多少
前面加球，任意两个球 x,y ，经过很多操作之后可以得到间隔是 gcd(x,y) 的所有球，然后这题开头有若干个球，所以最后得到的间隔是所有球的gcd，然后如果有球是0，需要特判个数加1，然后有m个球了，就是概率dp的递推了，考虑 dp[i] 为已经有i个球被取过了的期望

dp[i]=1+im×dp[i]+m−im×dp[i+1]

经过化简得到

dp[i]=dp[i+1]+mm−i

要记住概率dp推期望的时候，一定是倒着dp的，为什么呢，我也不知道，最后问操作次数，需要加上前面的加球次数，这是个trick

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define MAX 100005
#define MAXN 1000005
#define maxnode 10
#define sigma_size 2
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define middle int m=(r+l)>>1
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pii pair<int,int>
#define bits(a) __builtin_popcount(a)
#define mk make_pair
#define limit 10000

//const int prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-9;
const LL     mod   = 1e9+7;
const ull    mxx   = 1333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}
/*****************************************************/

int gcd(int a,int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b,a%b);
}
double dp[MAX];

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n;
        cin>>n;
        int tmp,maxn=0;
        int flag=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int b;
            scanf("%d",&b);
            if(i==0) tmp=b;
            else tmp=gcd(tmp,b);
            maxn=max(maxn,b);
            if(b==0) flag=1;
        }
        int num=maxn/tmp+flag;
        int add=num-n;
        dp[num]=0;
        //cout<<num<<endl;
        for(int i=num-1;i>=0;i--){
            dp[i]=dp[i+1]+num*1.0/(num-i);

        }
        int ans=dp[0]+add;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}