51nod 1086 背包问题 V2（多重背包问题）

1086 背包问题 V2

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题 收藏 关注
有N种物品，每种物品的数量为C1，C2……Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。
Input
第1行，2个整数，N和W中间用空格隔开。N为物品的种类，W为背包的容量。(1 <= N <= 100，1 <= W <= 50000)
第2 - N + 1行，每行3个整数，Wi，Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000， 1 <= Ci <= 200)
Output
输出可以容纳的最大价值。
Input示例
3 6
2 2 5
3 3 8
1 4 1
Output示例
9

这题是经典的多重背包问题
多重背包和01背包还有完全背包不同，对每个物品的个数有限制mi个
一般有三种解决方法：
- 方法一：普通dp方法的话，先枚举n个物品，然后枚举W的容量，然后枚举 mi 个东西，总复杂度是 O(nW∑mi) ，一般题目承受不住，所以需要优化方法。
- 方法二：二进制优化，将mi个物品用二进制划分，即

mi=21+22+…+2x+reminder

这样就把m_i个物品分割成了几个重量和价值都为原来的 2x倍的物品 ，最后多出来的部分也看成一个物品，所以复杂度为 O(nW∑log2mi)
- 方法三：单调队列优化，可以将复杂度优化到 O(nW) ，状态转移方程为
dp[i+1][j]=max{dp[i][j−k×w[i]]+k×v[i]|0≤k≤mi}
这样的复杂度和方案一是一样的，所以我们可以考虑不同的 j%w[i] 值，因为不同的值之间是相互独立的，所以可以得到枚举余数r，定义
a[j]=dp[i][j×w[i]+r]
转移方程可以写为
dp[i+1][(j+k)×w[i]+r]=max{a[j]+k×v[i],a[j+1]+(k−1)×v[i],…,a[j+k]}
这样还是不能很方便的计算，所以再次进行变形
b[j]=a[j]−j×v[i]
dp[i+1][(j+k)×w[i]+r]=max{b[j],b[j+1],…,b[j+k]}+(j+k)×v[i]
这样就可以用单调队列维护长度最多为 mi 的区间的最大值了。

下面是二进制优化方法的代码

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define MAX 5005
#define MAXN 1000005
#define maxnode 15
#define sigma_size 30
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define middle int m=(r+l)>>1
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pii pair<int,int>
#define bits(a) __builtin_popcount(a)
#define mk make_pair
#define limit 10000

//const int prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-8;
const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

int p[MAX];
int w[MAX];
int dp[50005];
int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,W;
    cin>>n>>W;
    int tot=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int wi,pi,ci;
        scanf("%d%d%d",&wi,&pi,&ci);
        int ret=1;
        while(ci>=ret){
            p[tot]=pi*ret;
            w[tot++]=wi*ret;
            ci-=ret;
            ret*=2;
        }
        if(ci!=0){
            p[tot]=ci*pi;
            w[tot++]=wi*ci;
        }
    }
    mem(dp,-1);dp[0]=0;
    int maxn=0;
    for(int i=0;i<tot;i++){
        for(int j=W;j>=w[i];j--){
            if(dp[j-w[i]]!=-1) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+p[i]);
            maxn=max(maxn,dp[j]);
        }
    }
    cout<<maxn<<endl;
    return 0;
}

这是单调队列优化的代码

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

using namespace std;
#define MAX 5005
#define MAXN 50005
#define maxnode 15
#define sigma_size 30
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define middle int m=(r+l)>>1
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pii pair<int,int>
#define bits(a) __builtin_popcount(a)
#define mk make_pair
#define limit 10000

//const int prime = 999983;
const int    INF   = 0x3f3f3f3f;
const LL     INFF  = 0x3f3f;
const double pi    = acos(-1.0);
const double inf   = 1e18;
const double eps   = 1e-8;
const LL    mod    = 1e9+7;
const ull    mx    = 133333331;

/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
      char c;
      while((c=getchar())<'0' || c>'9');
      x=c-'0';
      while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
 }
/*****************************************************/

int v[MAX];
int w[MAX];
int c[MAX];//数量
int dp[MAXN];
int deq[MAXN];//保存数组下标
int deqv[MAXN];//保存值

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,W;
    cin>>n>>W;
    int maxn=0;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&c[i]);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int a=0;a<w[i];a++){
            int s=0,t=0;
            for(int j=0;j*w[i]+a<=W;j++){
                int tmp=dp[j*w[i]+a]-j*v[i];
                while(s<t&&deqv[t-1]<=tmp) t--;
                deq[t]=j;
                deqv[t++]=tmp;
                dp[j*w[i]+a]=deqv[s]+j*v[i];
                maxn=max(maxn,dp[j*w[i]+a]);
                if(deq[s]==j-c[i]) s++;//deq[s]内的值和j已经差了c[i]个
            }
        }
    }
    cout<<maxn<<endl;
    return 0;
}