傅立叶变换，时域，频域一

参考文献：

信号完整性分析

"信息传输调制和噪声"P31，

"傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。

 

目录

信号分析方法概述
        时域
        频域
        时域与频域的互相转换             
傅立叶变换 原理
        傅立叶变换 分类
        傅立叶级数的五个公式(周期性函数)
        傅立叶积分(非周期性函数)
        振幅谱和相位谱的关系
        功率谱
        傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质
        时间-频率 间的对应关系。
                      对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系
                        对应关系2，时间周期T 与 频谱 ：呈反比关系
                      对应关系3：脉冲宽度 与 频谱：呈反比关系
                      用脉冲宽度 定义带宽
        频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱
        周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义
        离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系
        傅立叶变换与正交性
        傅立叶变换的 思想总结与优点

时域 的物理意义
频域 的物理意义 
      1，频域 的物理意义
      2，傅立叶变换与谐波
      3，傅立叶反变换与谐波叠加
      4，带宽与时钟频率、脉冲宽度
关键技术点解释
        1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？
        2，什么是正交?正交的条件是什么?傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的?傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件? 
        3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量
        4, 频域中幅值 与时域中的幅值 有什么关系？
        5，采样
傅立叶变换的缺点

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信号分析方法概述

          通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。

          也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。

  思考：
      原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（ 纯数学概念）则有多个频率分量。
          人们很容易认识到自己生活在 时域与空间域 之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解 时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位 ）、空间域的多径信号也比较好理解。
        但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。

      时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。
        所以：OFDM中，IFFT把频域转时域的原因是：IFFT的输入是多个频率抽样点（即 各子信道的符号），而IFFT之后只有一个波形，其中即OFDM符号，只有一个周期。

    时域

          　 时域是真实世界，是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的，已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时，通常在时域中进行分析，因为产品的 性能最终就是在时域中测量的。

　　时钟波形的两个重要参数是 时钟周期和上升时间。

                时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔，通产用ns度量。时钟频率Fclock，即1秒钟内 时钟循环的次数，是时钟周期Tclock的倒数。

　　Fclock=1/Tclock

　　上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关，通常有两种定义。一种是10-90上升时间，指信号从终值的10%跳变到90%所经历的时间。这通常是一种默认的表达方式，可以从波形的时域图上直接读出。第二种定义方式是20-80上升时间，这是指从终值的20%跳变到80%所经历的时间。

　　时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知，下降时间通常要比上升时间短一些，这是由典型CMOS输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中，p管和n管在电源轨道Vcc和Vss间是串联的，输出连在这个两个管子的中间。在任一时间，只有一个晶体管导通，至于是哪一个管子导通取决于输出的高或低状态。

        假设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E,重复周期为T，

 

 

    频域

            频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。时域是惟一客观存在的域，而频域是一个遵循特定规则的数学范畴。

          正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即 正弦波是对频域的描述，因为 时域中的任何波形都可用正弦波合成。这是正弦波的一个非常重要的性质。然而，它并不是正弦波的独有特性，还有许多其他的波形也有这样的性质。正弦波有四个性质使它可以有效地描述其他任一波形：

　　（1）时域中的任何波形都可以由正弦波的组合完全且惟一地描述。

　　（2）任何两个频率不同的正弦波都是 正交的。如果将两个正弦波相乘并在整个时间轴上求积分，则积分值为零。这说明可以将不同的频率分量相互分离开。

　　（3）正弦波有精确的数学定义。

　　（4）正弦波及其微分值处处存在，没有上下边界。

　　使用正弦波作为频域中的函数形式有它特别的地方。若使用正弦波，则与互连线的电气效应相关的一些问题将变得更容易理解和解决。如果变换到频域并使用正弦波描述，有时会比仅仅在时域中能更快地得到答案。

　　而在实际中，首先建立包含电阻，电感和电容的电路，并输入任意波形。一般情况下，就会得到一个类似正弦波的波形。而且，用几个正弦波的组合就能很容易地描述这些波形，如下图2.2

　　所示：

  

 

图2.2 理想RLC电路相互作用的时域行为

          频域的图如下?\\

 

       

        时域与频域的互相转换

    　时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。

            时域与频域的对应关系是：时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。

        按照傅里叶变换理论：任何时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
   

                1、正弦波 时域信号是 单一频率信号；
                2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；
                3、任何波型都可以通过 不同频率正弦波叠加得到；

解释1：

        初学者一个经常的困惑是：无法理解信号为何会有多个频率，加上许多书中的描述不够严谨，比如：语音信号的频率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。

        正确的解释是：一个信号有两种表示方法，时域和频域。在时域，信号只有周期，正是因为有了 傅立叶变换 ，人们才能理解到信号频域的概念。（先有傅立叶变换的结果才让你认识到声音信号里包含了某种频域的正弦波,它仅仅是声音信号里的一个分量.用你的眼睛你可能永远看不出这些幅度变动里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!）

    注：大家应牢记： 频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域实际上是时域信号进行傅立叶变换的数学结果。通过数学方法，可以更方便的观察到信号内含的信息、可以分解合成信号。

 

              无线通信中传输资源包括了时间、频域、空间等。

              时间比较好理解，就是：时间周期1发送符号1，时间周期2发送符号2.。，时域的波形可以用三角函数多项式表示，函数参数有：时间、幅度、相位。在载波传输中，载波信号由振荡器产生，它的时钟频率是固定的，倒数就是 时间周期。

          频域比较难理解，按傅立叶分析理论，任何时域信号都对应了频域的若干频率分量（称为谐波）的叠加，频域的频率与时域的时钟频率不同。可以认为：时域不存在频率，只存在时间周期。信号处理与通信中所指的频率一般都是指 频域的频率分量。而每个频率分量都可从数学意义上对应时域的一个波形（称为谐波，基波是一种特殊的谐波，它的频率与时域波形的时钟频率相同）  。         

            因为载波一般都是正弦波，所以定义 信号在1秒内完成一个完整正弦波的次数就是信号的频率（以Hz为单位)，即1Hz。  时间周期T=1/f。
          载波的功能参见  调制解调 部分内容。这里可以先不理解何为载波，关键是时域与频域的对应关系。
          以这个时域波形为例

                  设时域波形（图中的 合成波）的时间周期=T（如2秒），其时钟频率则为f0=1/2 Hz。那么基波的频率、周期与合成波一样。每个谐波之间频率间隔=基波频率。

                而谐波1的频率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。

                谐波2的频率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。。。。

                谐波8的频率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222

             在频域中，每个频率分量都有自己的幅度与相位。按谐波的频率、幅度、相位信息可以得到谐波所对应时域的波形。

         将各谐波的时域波形叠加起来，即得到 时域中 合成波。

 

解释2： 时域信号的数据传输速率，常用 bps，如100Kbps，指1s内传输了100K bits的二进制数据。即：时域的传输效率。
             引入频域后，带来一个新的数据：频谱效率，作为 频域的传输效率。如 80bps/Hz 指1Hz频率上能传输80bps数据。

                        按信息论，带宽越大，数据速率越高。

 

解释3： 

                为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的， 但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。       

                注：此处仍要牢记：频域是 数学构造，只要有助于我们分析信号，对应的数学方法 就是有用的。

 

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傅立叶变换 原理

傅立叶变换 分类

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别： 

                周期性连续信号  傅立叶级数(Fourier Series)   
                非周期性连续信号  傅立叶变换（Fourier Transform）       
                非周期性离散信号  离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）   
                周期性离散信号  离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)  -DFT

下图是四种原信号图例：

                                这四种傅立叶变换都是针对 正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。

                        面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸， 延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是 非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。

                        还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了 周期性离解信号，这时我们就可以用 离散傅立叶变换方法进行变换。这里我们要学的是 离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
                但是对于 非周期性的信号，我们需要用 无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是 不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有 离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说 只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们 要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们 使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。
                每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是 复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解 实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
                还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

 

                                傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 
                和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

 

       

傅立叶级数的五个公式(周期性函数)

    傅立叶（19世纪的法国人)认为：任何周期函数f(t)总是可以变成下面的傅立叶级数

（傅立叶公式1）

        它等价于下面的公式

  （傅立叶公式2） 

   

        两个公式的关系是：

        公式中a0,an、bn都是常数。A _kCosW _kt+B _kSinW _kt即时域信号的第k个频率分量对应的正弦波（即谐波）表示。an,bn也称为傅立叶系数。

时域的信号用f(t)表示，下面介绍这个 信号如何转换到频域的表示方法。

        因为三角函数间有正交关系，如下

1， 两个不同三角函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为0。即正交。

2， 两个相同函数的乘积在[-pi,+pi]上的定积分为2Pi或pi.

       

解释：上图中的x对应傅立叶公式中的时间参数t。pi可对应时间周期T。

 

首先：我们考虑如何对于 时域信号f(t) 分解出其中的各个子信号(子谐波)：A _kCosW _kt+B _kSinW _kt。

      然后可以得到各个谐波在 频域的表示方法:频率W，幅度Cn、相位。 这三项就是傅立叶变换的结果：频域信号表示

  按上述的三角函数关系，要得到a _k，就把f(t)乘以cosw _kt，并在整个周期内取积分。得

图中的a _n^就是a _k.

        _得到（下图中的a _n^就是a _k.）

       

    _根据A _kCosW _kt+B _kSinW _kt这个波形的表示方法可以推导出： 

  1,  就是这个正弦波的最大幅值（最大振幅）(也即幅值频谱图的y轴)。

2, 就是这个正弦波的相位。

 

     经过简单的三角函数运算，可以得到傅立叶级数f(t)的另一个表达方式：

（傅立叶公式3） 

        它可以更方便的计算出振幅 和相位 （分别对应 幅度谱与相位谱）

 

傅立叶级数f(t)的另一种表示方式是 复指数形式,它也是最简捷的表达方式。

        （傅立叶公式4） 
Cn是复数，定义为

从上面的f(t)推导出 复指数形式 的过程略，基本思想是利用了 欧拉公式 e^jx = cos(x) + jsin(x)

 及

解释：频域分量转成的时域信号都是复信号（含实部与虚部），虽然实际信号都是实的。

实际上信号的传输都用实信号，而接收信号的处理中则使用复信号。

 

三角函数 运算法则是： ，

 
从上面的 复指数傅立叶级数公式 中，可以直接得到各子频率分量对应正弦波（谐波）的振幅 和相位。

   

 

复指数傅立叶级数公式（傅立叶公式4 ） 可以推导出三角函数形式

傅立叶公式5

                另外，在 傅立叶公式4 中看起来出现了“负频率”，但实际上它们是不存在，只是数学的一种表示方法。

                所以在 傅立叶公式5 中就消除了 “负频率”

这里给出了五种 傅立叶级数f(t)的表示方式，它们都是等价的，并可互相推导出来。

 

 

傅立叶积分(非周期性函数)

        非周期性函数使用傅立叶积分来得出频谱。

因为这个函数总可以在时间间隔之外按其本身形状来重复，这里可使用傅立叶级数来计算频谱。而当时间间隔不断增大，在极限情况下就变为傅立叶积分。
        考虑一个周期函数f(t)，用傅立叶级数表示。

        其频谱图如下，

        其相邻各谐波频率之间间隔为
        所以这个f(t)可以写为 ，将△W代入原f(t)公式而得。

        当T->无穷大时， ，而Wn也->0，所以 频谱会由 离散频率点 变为连续频谱。则Cn作为谐波Wk的幅值也会变为连续函数F(w)                           

        则我们得到 非周期函数f(t) 的傅立叶积分表示方法f(t)。
   

 

      非周期函数f(t)的时域、频域图 举例如下：

 

 

      把F(w)的计算公式称为 傅立叶积分 公式。 F(w)称为 f(t)的傅立叶变换。f(t)公式即傅立叶反变换公式。
      F(w)与f(t)的计算公式 看起来很像， 甚至可以互相调换f(t)与F(w).
    由F(w)公式得出时域信号f(t)的频率分量。频率、频谱 从本质上说是某种数学抽象。

 

振幅谱和相位谱的关系

        上面的频谱图实际上是振幅谱，看不出相位与频率间的关系。

   
        F(w)是频率的复函数。F(w)也可分解为振幅谱和相位谱。

        ,它随频率变化。

        它们有奇怪的对称性。振幅谱是频率的偶对称函数。相位谱是频率的奇对称函数。

        可以推导出：

             

即相位就是

 

               

 

解释：时域中的相位，与频域中的相位完全不同。

        频域中相位是指各谐波的相位，它随频率而时间变化。

      所以：

1，频域中完全看不出时间，只有谐波的各 频率、幅值、相位 。这些谐波在 非稳定信号中 可能并不会在所有时间中存在，这是另一个信号处理领域的问题。

2，时域信号中看不出频率，只有各谐波叠加后的信号。

     时域信号的周期=各谐波信号中的最大周期，即基波的周期。频率也相当于基波的频率。相位则是各谐波叠加后形成（相位在时域与频域 没有固定的、可按公式计算出的关系）。

     时域信号的一个周期中的 符号 包括了以下信号的叠加（且可通过正交分解出来）：

              一个基波在一个周期内的符号，一次谐波在2个周期内的符号，二次谐波在3个周期内的符号，三次谐波在4个周期内的符号。。。

    在快速傅立叶变换中，因为时域抽样点必须是2的K次方，所以偶次谐波的幅值总为0，即不携带信息或空符号

 

功率谱
      从电路分析可知，如
       
代表1欧电阻上的电压，则在此电阻内损耗的平均功率为（An ²+Bn ²)/2   瓦。
   所以振幅频谱的平方就是不同频率上（n=0,1,2...)1欧电阻内所损耗功率的测量。
  各个频率上的功率相加，就得到周期性电压加到电阻上的 平均损耗功率。

  任意电压f(t)加到1欧电阻上的瞬时功率就是｜f(t)｜ ²

 

 

傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质

    傅立叶变换有两个重要的原理：

1，时间移位原理

        将时域时间原点从t=0处移到t=t0处，则相当于频域F(w)的相移 ，即

2，频谱搬移原理
        如果F(w)的角频率移动了W0弧度/秒，则f(t)要乘上 ，即：

        推导公式是：

      在调制技术中，信号f(t)要调制到载波上产生的频率移动，即通过上述关系确立。
        基带信号(带有信息)f(t)对载波信号CosW0t的调幅结果（即已调制信号），可表示为
      f0=W0/2pi，为时域载波信号的频率
        已调制信号的傅立叶变换结果为：
        即：调制之后，f(t)的频谱被移动了，

   

       

比如：先将一段音乐的离散时间信号做傅里叶变换(FFT)，再将得到的频谱向高处搬移，最后做傅里叶反变换(IFFT)，恢复到时域，听到的声音会比原来的声调高。

 

 

时间-频率 间的对应关系

对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与 频谱 呈正比关系

    时域信号波形中，振幅的变化构成整个信号的包络。
    下面是一个调幅信号在一个周期内波形的例子，振幅的变化代表了传送的信息。

，2A是最大振幅

        上式经简单的三角运算后，得到 

    其频谱如下：

     

            当原信息信号变化更快时（Wm增大），使得振幅调制后的信号也变化更快 ，边带频率(W0-Wm,W0+Wm)也更远的离开载波。
  所以： 较快速的变化相当于较高频率的变动。

即：时间变化速率增加，频率也增高了(这点在 上升时间与带宽 关系中也可见)

 

 

  对应关系2，时间周期T  与  频谱 呈反比关系

下面用 矩形脉冲序列 来深入讨论 时间-频率之间的关系。

                       

它的频谱可以表示成

   

再写成

 

    给出一个归一化的无量纲变数 ，则

        

    函数 sinx/x 在x=0处有最大值，此处sinx->x, (sinx/x)->1，而当x->无穷大时，它->0
   函数 sinx/x 的形状如下
     

           因为n是离散的，所以Wn也取离散值（W1=2pi/T的各谐波），所以 归一化参数x也是离散点，但Cn的包络无疑与上图一致。
    

 

              虽然周期函数包括有基本频率的所有整数倍的频率分量，但在较高频率上，振幅的包络减小。并且基本周期T越小（即每秒的脉冲数增多），频率谱线越移越开。
              时间函数比较快速的变化则相当于比较高的频率分量： 周期T减少，则频谱变大（因为 △f=2pi/T  变大）
              由于集中在低频区的谱线有较高的幅度，所以这个周期波所具有能量的大部分都分布在较低的频率分量上。

当 函数变化增快（T减小）时，在较高频率范围内所包含的能量所占的比重将增大。

       

  对应关系3：脉冲宽度 与 频谱：呈反比关系

从上图可见，随着 脉冲宽度 的减少，信号的频率分量分布的更宽

思考：因为   那么因为sinx\x的图形不变，当sinx\x=0时的x不会变，则此时 减少，表示Wn会变大。

            同时在   处的第一个零交点在频率轴上移远。
    因此，在 脉冲宽度或持续时间 与脉冲的频率展布 之间，有反比关系存在。

用脉冲宽度 定义带宽
      如 （即很窄的脉冲），则大部分信号能量将落在下式的范围内:      
      这个点也当作信号的带宽。

解释：上面三点其实与 上升时间越小，对应带宽越大 的关系是一致的。

 

频谱、幅度谱、相位谱、功率谱 与 周期性函数的频谱

            频谱就是时域信号经过傅立叶变换后的复信号；因为Cn是复数。
            幅度谱就是复频谱取幅度后得到的幅度与频率之间的关系曲线；
            相位谱就是复频谱取出相位后得到的相位与频率之间的关系曲线；
            功率谱就是功率与频率之间的关系曲线。

 

周期性函数按上面傅立叶级数的推导方法来得到频谱（以频率Wn为x轴、幅值Cn为y轴）

      按 傅立叶公式1中 定义，可知每个频率点间的间隔是2Pi/T,那么第0个频率点即基波，它的频率=2Pi/T。T是时域信号的周期，

所以基波频率=时域信号的时钟频率，基波表示时域信号的 直流分量。

        从频谱图也能看出，相邻各谐波频率之间间隔为 ,它就是基波角频率 。

（角频率与频率之间就是多了个2pi的关系，那么 基波频率就是时域信号的频率  ）

        W0在傅立叶级级数中用常数a0表示。周期=2pi/W0.
        一次谐波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，频率是基波频率的2倍。
        二次谐波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，频率是基波频率的3倍。

        。。。

    所以： 频域各谐波频率一定是时域信号时钟频率的倍数。

 

   基波的定义是：将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的量。
              在复杂的周期性振荡中,包含基波和谐波。 和该振荡最长周期相等的正弦波分量称为基波。

相应于这个最长周期的频率称为基本频率。频率等于基本频率的整倍数的正弦波分量称为谐波。
              周期为T 的信号中有大量正弦波，其频率分别为1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz，称频率为 1/THz的正弦波为“基波”，频率为等 n/THz（n≠1）的正弦波为n次“谐波”。

解释：    基波谐波 来自于 原时域信号的频谱中各频率点的频率、相位 在时域中体现为各正弦波，它们叠加在一起形成了原时域信号。

          在简谐振动中，在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示。频率也表示单位时间波动传播的波长数。频率的2π倍叫角频率，即ω =2πf。

在国际单位制中，角频率的单位也是弧度/秒。频率是描述物体振动快慢的物理量，所以角频率也是描述物体振动快慢的物理量。频率、角频率和周期的关系为ω = 2πf = 2π/t。

                      在简谐振动中，角频率与振动物体间的速度 v 的关系为v =ωasin( ωt + φ )。
                圆周运动中的角速度ω与简谐振动中的角频率ω，虽然单位相同且都有ω = 2π/T的相同形式，但它们并不是同一个物理量。

          角频率对时间的积分等于相位的改变量。

 

  周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义

        动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立叶变换。两个域都有自己的测量工具：时间是示波器，频域是频谱分析仪。而在一个域进行测量，通过换算可求得另一个域的结果。

    傅立叶级数公式中，Cn表示了各次谐波的振幅随频率变化的情况，一般所指的 频谱是幅度谱，指频率和振幅的关系，表示每个频率分量及其所占的比重大小，如振幅大小或功率大小。

    周期函数的频谱是离散的。它的频率是一个不连续的离散值。因为频谱函数Cn的公式由傅立叶级数公式（实际上是一个三角函数级数）推导出，其中的n=0,1,2...，n是整数，那么Wn=W1,W2,W3..Wn也是离散值。
    非周期函数的频谱是连续的。由于频谱函数F(W)的公式由傅立叶积分推导出，根据积分的定义，所以：其中的W是连续变化的。
    这说明 非周期函数 的频率成分比 周期函数 的频率成分丰富。傅立叶级数、傅立叶积分 可以取出两种函数的不同频率成分及其幅值。

       

 

        上图是 共轭复数 的出发点，它说明了频谱图中出现的 负频率 只是数学上的方便写法。(注：必须记住频域只有数学意义，在现实中是不存在的)

        频谱图中会得到一个关于y轴对应的频谱图。现实中负频域是不存在的。这是因为在由傅立叶级数到指数形式的转化过程中，欧拉公式对傅立叶级数系数重新分析，即Cn对an和bn进行了共轭对称调整，使得各频率分量的幅度折半按y轴分配，使之出现了对称的频谱和负频域形式。

 

离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系

    所谓信息，是指信号随时间的变化。
    奈奎斯特定理已经证明。 为了从抽样信号中无失真的再现原信号，当原信号(为频带有限的模拟信号)带宽为BHz时，最小抽样速率，应该为每秒2B个样值。即抽样时间间隔=1/2B秒。这些样值包含了原信号的全部信息。
具体证明过程如下：

      以下的信号以频带有限的信号。设其带宽为BHz。即理想情况下，频域中，超过f=B就绝对没有任何频率分量（实际波形中，超过BHz后，频率分量幅度迅速下降，也可视为信号带宽=B）。
1，原信号转换成抽样点时，即抽样速率为多少

   对周期信号f(t)抽样时，只要抽样速率f0>=2B，则抽样不会损害其信息含量。1/2B为抽样间隔。
   设周期脉冲信号为S(t)，脉冲幅度为1，宽度为τ，周期T=1/f0
    则抽样后信号为fs(t)=f(t)S(t)。
   f(t),S(t)都可以展开成傅立叶级数(公式1），根据傅立叶频谱搬移原理， 可以得到fs(t)的傅立叶变换为

   每一项的中心位于抽样频率的倍数点上。所以：对f(t)抽样的效果是使其 频谱搬移到抽样频率的所有谐波上 。频谱沿原先的频率线对称的分布。
   而对于非周期函数f(t)抽样，也有类似效果。

    频谱如下：

       

              当抽样速率下降时，f0及所有谐波都会互相靠拢，则上图中各频谱分量会重叠在一起，比如中心位于f0的分量F(W+W0) 会同中心位于原点的 未偏移项F(W)相混，这样就不能从Fs(W)中分出F(W)，也就不可能从fs(t)中恢复f(t)。
          这种因抽样间隔太宽而引起频谱重叠并导致失真的现象称为混淆。
          而开始相混的极限频率，可从上图中看出 f0-B=B，即f0=2B。
          这就是 奈奎斯特抽样速率。

解释：上面说明了，抽样的过程即 周期脉冲信号（抽样信号）与原信号（信息信号） 相乘，产生的结果信号:

                        在频域上，会保留原信号的所有信息（即其频域分量会全部保留），但 频谱搬移到抽样频率的所有谐波上。

即：以 抽样信号的频谱各频率点为中心，每个频率点的上下边带都会保留全部的 原信号频谱 信息。

          因为上下边带的存在，所以从数学上看，要避免频谱分量重叠的办法只有让 抽样信号的频谱间隔为2B，即△f=2B，它也是抽样信号的基波频率（见 基波的定义 部分），即时域信号的速率.

        如果抽样速率较小，则抽样信号的带宽变小，谐波的频率分量会更紧密的靠在一起。则很容易发生， 原信号抽样后，频谱分量容易重叠在一起。

如抽样速率较大，则抽样信号谐波的频率分量间隔会增大，如上图中的间隔。原信号抽样后，不易发生重叠。

抽样速率不需要越大越好。因为那样带宽太大。并且只需要 一个频率分量的上下边带 就可完全恢复原信号，

                        比如 上图中fc、2fc左右边带就是无用的，在反傅立叶变换时只需要 0点左右的频谱分量作为输入数据即可。

 

2， 从抽样点可以得到周期信号 的证明过程如下：
注：抽样点可以是 非周期性 的取得，比如每隔几秒开始抽样也可以。
    已证明：每秒任何2B个独立样值就可完全表示一个频带有限的信号。或：完全规定一个T秒长间隔上的信号，只需要任何2BT个单独的（独立的）信息样值。

      证明过程如下：
      设T秒时间上频带有限信号为f(t)，（即非周期信号），它可以展开成以T为周期的傅立叶级数，由于频带有限，则傅立叶级数中的项数是有限的，即谐波是有限的，也即频谱中频率点是有限的。
    由于 ，因为B是f(t)的最高频率分量，则Wn=2piB（当n最大时），此时2piB=2pi*n/T，得出n=BT
    所以： n的最大值是BT。
    基波C0是直流项，仅改变f(t)的平均电平，不提供任何信息（因为信息表示信号随时间的变化）。
      由于频谱的对称性，所以傅立叶系数共有2BT个，即 频谱上的频率分量共有2BT个。

解释：

1，抽样点的个数*2 =频域中 频率点 的个数(含正频率与负频率)

2，当T=1s时，只需要2B个频谱分量即可恢复原信号，即：抽样后信号，从频域变换到时域后的信息 与 抽样前信号一样。

 

3， 抽样信号的解调
    即：如何从2BT个样值中恢复原信号f(t)。

        通过傅立叶变换可以证明，在 各个抽样点(时间点分别为：1/2B，2/2B...n/2B）给定信号f(t)时，对它们分别FFT之后可以得到相应的傅立叶系数Cn或F(w)。如下：

 

    而对Cn或F(w)进行傅立叶反变换，可以得到所有可能时间上的f(t)

解释：反变换之前是频域，没有时间参数。反变换之后则是时域的连续信号。

        这里的方法是 ：从 频域的离散频谱 反变换后生成  时域的连续信号。而频域信号来自于时域的抽样值。
      所以，连续信号f(t)先抽样，再FFT，然后再IFFT可以得到原时域信号f(t)。

 

    上述过程已经证明：用 时间相隔1/2B 的各个抽样点上的f(t)信号 就足以确定所有时间的f(t)。

    上述过程已经证明，让信号样值通过一个带宽为B hz的理想低通滤波器，可以再现原信号f(t)。这就是解调。

    即： N个采样点，经过FFT之后，频谱上得到N个频率点的幅值，反变换到时域得到连续函数f(t)。

采样速率越高或采样点数越多，相当于从频域反变换到时域时得到的谐波越多，叠加后得到的f(t)更像原信号。

    比如：原信号带宽500Hz，时域的采样频率则应为1024Hz（则1秒内得到的采样点为1024个），那么根据采样点变换到频域后最大带宽应该为1024（解释：因为发生了频谱搬移。）
    1秒时间的采样，得到1024个采样点，FFT变换到频域后得到1024个频率点，横坐标的频率的最大值是采样频率1024Hz，从小到大分别是：0Hz，1Hz，2Hz....1024Hz。
    而2秒时间的采样，得到2048个采样点，FFT变换到频域后得到2048个采样点，横坐标的频率的最大值仍是采样频率1024Hz，从小到大分别是：0Hz，0.5Hz，1Hz，1.5Hz，2Hz...1024Hz。频率点之间的间隔是0.5hz。因为 ，最大带宽W与采样时间无关，总是恒定值，当频谱上频率点n的次数增加时，频率点之间间隔只能缩短。
    所以：在采样率确定的情况下： 采样时间越长，频域的频率点越多，即频率分辨率（即：两个频率点之间的间隔）越高。恢复到时域后谐波更多。 
    结论： 频域频率分辨率要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，再做FFT变换到频域。
    实际应用中，对实时处理的要求较高，可采用： 采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定量的0作为采样点，使其长度达到需要的点数。这也可以提高频率分辨率。
    如果想用时分复用的方式来同时传送多路信号，在每路信号的抽样间隔中，可以用来传送其它信号的抽样点。

 

傅立叶变换与正交性

        在第一个傅立叶级数公式中，通过时域f(t)信号求频谱Cn（先求an,bn）的过程中利用了三角函数的正交性。

        ｛ cos(nx),sin(nx)｝就像一个智能过滤装置，只允许和自己完全同频率的函数通过（ 可以得到这个频率的频域信号 ），将其余的频率完全正交化为0。这是傅立叶变换的原理与正交化的重要意义所在。

傅立叶变换的 思想总结与优点

         傅立叶认为：任何周期信号都可用成谐波关系的正弦函数级数来表示。而非周期信号是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分。

        傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
        傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

       叠加 是指原始信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位 在时域的累加。
       解释： 时域上原信号波形，看起来频率是固定的，但实际上信号波形只表达了二维空间，而在 三维空间 中，还有一个轴是频率轴，所以 在频率轴上每个点都有一个对应的时域谐波信号)。
       解释：一般可以这样看：时域没有频率，只有周期与时钟频率。频域没有周期，只有频率。

        傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号分别进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。  
        傅立叶的优点是：
            * 傅里叶变换属于谐波分析。 
            * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 
            * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 
            * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 
            * 线性性质：两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和
            * 频移性质(见下）
            * 微分关系：原函数及其导函数的傅立叶变换间的关系。
            * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 

 

解释：    

                        傅立叶给出的定理大致是,任意一个周期函数都可以表示为sin与cos的无穷级数。  前者（周期函数）是时域的表示方法。后者（sin与cos的无穷级数）是频域的表示方法。

                                时域，有周期T(时间),就有频率f = 1/T的概念.   
                                数学上任何相乘=1的东西都是互相垂直,也叫正交
                                所以时域坐标想象成立方体的一个面,那么频域坐标系一定是其相邻垂直的另一个面.
                                换个说法,任何一个时域里的周期函数f(t),可以拆分得到一系列sin跟cos的叠加

          时域与频域的对应关系，可以举例：  南郭先生吹竽的故事。 齐宣王喜欢听合奏，南郭先生也可混在里面；齐宣王死了之后，就是齐泯王了，齐泯王要听独奏，南郭先生就跑了（滤波了）。傅里叶变换的目的就是将时间域里面的合奏分解为频率域里面一个个独奏的叠加\\\\，然后你就可以去挑了。

        类似的例子还很多。如选美，选美小姐全部站在台上，甚至抱成一团，是挑不出美人的。要对她们作傅里叶变换，将她们一个个拉出来溜，才能将真正的美人选（滤波）出来。

 

解释：

                  傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。 理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号 ，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。

            傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，

• 那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出一组信号其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，
•  不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。

            傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。 也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

        想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。

        傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。

                傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通 常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。

        在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。

        若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。

 

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