有向图强连通分量 Tarjan算法

[有向图强连通分量]
看到一篇讲义，觉得分析得还不错，转载下来

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码如下
tarjan(u)
{

DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E               // 枚举每一条边
      if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过
              tarjan(v)              // 继续向下找
              Low[u] = min(Low[u], Low[v])
        else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内
        Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根
   repeat
       v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
       print v
  until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

#define M 2000 //题目中可能的最大点数 
int STACK[M],top=0;          //Tarjan 算法中的栈 
bool InStack[M];             //检查是否在栈中 
int DFN[M];                  //深度优先搜索访问次序 
int Low[M];                  //能追溯到的最早的次序 
int ComponetNumber=0;        //有向图强连通分量个数 
int Index=0;                 //索引号 
vector <int> Edge[M];        //邻接表表示 
vector <int> Component[M];   //获得强连通分量结果

void Tarjan(int i) 
{ 
    int j; 
    DFN[i]=Low[i]=Index++; 
    InStack[i]=true; 
    STACK[++top]=i; 
    for (int e=0;e<Edge[i].size();e++){ 
        j=Edge[i][e]; 
        if (DFN[j]==-1){ 
            Tarjan(j); 
            Low[i]=min(Low[i],Low[j]); 
        } 
        else if (InStack[j]) 
            Low[i]=min(Low[i],DFN[j]);  //这一层的递归里面。Low[j]是还没有更新的，讲道理这里写DFN和LOW j没区别
    } 
    if (DFN[i]==Low[i]) 
    { 
        //cout<<"TT "<<i<<" "<<Low[i]<<endl; 
        ComponetNumber++; 
        do 
        { 
            j=STACK[top--]; 
            InStack[j]=false; 
            Component[ComponetNumber].push_back(j); 
        } 
        while (j!=i); 
    } 
}

void solve(int N)     //此图中点的个数，注意是0-indexed！ 
{ 
    memset(STACK,-1,sizeof(STACK)); 
    memset(InStack,0,sizeof(InStack)); 
    memset(DFN,-1,sizeof(DFN)); 
    memset(Low,-1,sizeof(Low)); 
    for(int i=0;i<N;i++) 
        if(DFN[i]==-1) 
            Tarjan(i);    
} 
/* 此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。 */