【codechef】n个数,多少种取法的异或值==m【二项式定理】

由于比赛还没结束所以先不放题目了。。。(转化题意:n个数,多少种取法的异或值==m )

这道dp要写得非常小心,考虑全面。第一发超时,原因是n=10^5,所以复杂度1024000,但是又想到所有数字都不超过1023,所以直接求每个数出现的次数就好。。

但是——这样转化之后,考虑细心的地方就超多了!

二项式定理
(1)Cn0+Cn2+Cn4+……+Cnn=2^(n-1) (n为偶数)
(2)Cn1+Cn3+Cn5+……+Cn(n-1)=2^(n-1) (n为偶数)


(3)Cn0+Cn2+Cn4+……+Cn(n-1)=2^(n-1) (n为奇数)
(4)Cn1+Cn3+Cn5+……+Cnn=2^(n-1) (n为奇数)


(5)Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+……+(-1)^nCnn=0

可以推出来,但是不知道这个定理的话题目就很难做了。然后又要分情况讨论:

1、根据异或的性质,一个数出现奇数次的结果是它本身,出现偶数次的结果是0。所以,在分情况考虑取和不取的时候,取的情况是Cn1+Cn3+Cn5+…,不取的情况是Cn0+Cn2+Cn4+…

2、但是,这个数等于0的情况是特殊的。因为不管是奇数次还是偶数次的结果都一样,为0。所以,从a个这个数里面取任意几个都是0,取法有2^a-1种。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
//转化题意:n个数,多少种取法的异或值==m 
//二项式定理
//(1)Cn0+Cn2+Cn4+……+Cnn=2^(n-1) (n为偶数)
//(2)Cn1+Cn3+Cn5+……+Cn(n-1)=2^(n-1) (n为偶数)
//(3)Cn0+Cn2+Cn4+……+Cnn=2^(n-1) (n为奇数)
//(4)Cn1+Cn3+Cn5+……+Cnn=2^(n-1) (n为奇数)
//(5)Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+……+(-1)^nCnn=0
char x[15],y[15];
ll dp[2][10004];
int w[1030];
ll power[100005];
int n;
int main(){
	power[0]=1;
	for(int i=1;i<=100000;++i)
		power[i]=(power[i-1]*2)%mod;
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%s",y);
		int s=0;
		for(int j=0;j<strlen(y);++j)
			s=s*2+(y[j]=='w'?1:0);
		scanf("%d",&n);
		memset(dp,0,sizeof dp);
		memset(w,0,sizeof w);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%s",x);
			int p=0;
			for(int j=0;j<strlen(x);++j){
				p=p*2+(x[j]=='+'?1:0);
			}
			w[p]++;
		}
		int g=1;
		for(int i=0;i<=1023;++i){
			int p=i;
			int q=w[i];
			if(q==0)
				continue;
			memset(dp[g],0,sizeof(dp[0]));
			//先考虑把【这个数之前的每一个集合】和【这个数取0到q个】合并的结果 
			for(int j=1023;j>=0;--j){  //注意必须要用二维背包啊!!否则值可能覆盖 
				if(p==0)
					dp[g][j^p]=(dp[g][j^p]+dp[1-g][j]*(power[q]))%mod;
				else{
					dp[g][j^p]=(dp[g][j^p]+dp[1-g][j]*power[q-1])%mod;//取奇数个的情况 
					dp[g][j]=(dp[g][j]+dp[1-g][j]*power[q-1])%mod;    //取偶数个的情况 
				}
			}
			//再考虑只取【这个数取1到q个】的结果(注意这里排掉【什么都不取的情况】) 
			if(p==0)
				dp[g][p]=(dp[g][p]+power[q]-1)%mod;  //(注意这里排掉【什么都不取的情况】) 
			else{ 
				dp[g][p]=(dp[g][p]+power[q-1])%mod;  //取奇数个的情况 
				dp[g][0]=(dp[g][0]+power[q-1]-1)%mod;//取偶数个的情况(注意这里排掉【什么都不取的情况】) 
			}
			g=1-g;
		}
		//【什么都不取的情况】在这里加啊! 
		dp[1-g][0]=(dp[1-g][0]+1)%mod;
		printf("%d\n",dp[1-g][s]);
	}
	return 0;
}


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