【编程马拉松】【023-换零钱】

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1 题目描述

　　考虑仅用1分、5分、10分、25分和50分这5种硬币支付某一个给定的金额。例如需要支付11分钱，有一个1分和一个10分、一个1分和一个5分、六个1分和一个5分、十一个1分这4种方式。请写一个程序，计算一个给定的金额有几种支付方式。注：假定支付0元有1种方式。

1.1 输入描述:

　　输入包含多组数据。每组数据包含一个正整数n（1≤n≤10000），即需要支付的金额。

1.2 输出描述:

　　对应每一组数据，输出一个正整数，表示替换方式的种数。

1.3 输入例子:

11
26

1.4 输出例子:

4
13

2 解题思路

　　假设硬币的种类数组t={1,5,10,25,50}，按大小排序。m表示选择有0~m种硬币可以选择，面值是t[0]、•••、t[m-1]。要换的钱的数目是n。本题可以使用动态规划算法解决。

2.1 递归方式

　　假设有n钱待找零，当前可以供选择的方式为m种，f(n,m)表示共的待找零方案，则有递推公式：

f(n,m)=⎧ ⎩ ⎨ 10f(n−t[m−1],m)+f(n,m−1) n=0n<0orm≤0n>0andm>0  

　　当n=0，f(n,m)=1，表示已经找零完毕，再找0元只有一种方案。
　　当n<0表示这种方案找零不合理，不能完成找零操作，而m≤0说明找零还没有完成，但是已经没有可以供选择的硬币了。所以f(n,m)=0。
　　对于可以找零，并且还有硬币选择的情况找零有两种方案。第一种是：选择一个可以选择的最大面值的，剩下的钱再进行找零操作，同时硬币种类的选择方案没有变化，即为：f(n-t[m-1],m)。第二种是：现在和以后都不选择本次可以选择的最大的硬币面值，然后再进行找零操作。即f(n,m-1)。

2.2 非递归方式

　　假设有n钱待找零，当前可以供选择的方式为m种，创建一个长度为n+1的数组r，r[i]表示找零为i的找零方法为r[i]。初始时r的第一个元素为1，其它元素都为0，即r[0]=1，r[i≠0]=0。
　　步骤一、因为硬币的面值都按大小排序，从最小的面值开始选择，先选择最小的一个t[0]。对于找零为大于0的情况只有从t[0]开始才可能有找零的情况。对于i≥t[0]有r[i]=r[i]+r[i-t[0]]。这是只有一种硬币可以选择的情况。
　　步骤二、当有2种硬币可以选择，在步骤一已经求出了只有一种硬币可供选择的情况，现在可以选择第二种硬币，那么只有找零数i≥t[0]时才可以选择第二种硬币，所以有r[i]=r[i]+r[i-t[1]]。
　　同理可以求得有3、4、•••。具体实现详见代码。

3 算法实现

import java.util.Scanner;

/** * Author: 王俊超 * Time: 2016-05-13 15:15 * CSDN: http://blog.csdn.net/derrantcm * Github: https://github.com/Wang-Jun-Chao * Declaration: All Rights Reserved !!! */
public class Main {

    // 硬币可以供选择的面值
    private final static int[] T = {1, 5, 10, 25, 50};

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
// Scanner scanner = new Scanner(Main.class.getClassLoader().getResourceAsStream("data.txt"));
        while (scanner.hasNext()) {
            int n = scanner.nextInt();

// System.out.println(exchange(n, T.length));
            System.out.println(exchange(n));
        }

        scanner.close();
    }


    /** * 解法一：递归解法 * 找零操作 * * @param n 当前要找的零钱数 * @param m 可以选择的硬币种类T[0]~T[m-1] * @return 不的找零数目 */
    private static int exchange(int n, int m) {

        if (n == 0) {
            return 1;
        } else if (n < 0 || m <= 0) {
            return 0;
        } else {
            return exchange(n - T[m - 1], m) + exchange(n, m - 1);
        }
    }

    /** * 解法二：非递归解法 * 找零操作 * * @param n 当前要找的零钱数 * @return 不的找零数目 */
    private static long exchange(int n) {

        // 选择long不然可能会超出int表达范围
        long[] result = new long[n + 1];

        // 初始化
        result[0] = 1;

        // 每次增加一种硬币，且比之前硬币的面值大，计算加入新的硬币后每个数目的钱其找零数有多少种
        for (int t : T) {
            for (int j = t; j <= n; j++) {
                result[j] += result[j - t];
            }
        }
        return result[n];
    }
}

4 测试结果

5 其它信息

因为markddow不好编辑，因此将文档的图片上传以供阅读。Pdf和Word文档可以在Github上进行【下载>>>】。