剑指offer-面试8：旋转数组的最小数字（查找和排序）

题目

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 { 3,4,5,1,2 } 为 { 1,2,3,4,5 }的一个旋转，该数组的最小值为1.

分析

最直观的解法，从头到尾遍历数组一次，就能找出最小的元素。这种思路的时间复杂度是O(n)。但这个思路没有利用输入的旋转数组的特性，肯定达不到面试官的要求。

基本解法

注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。在排序的数组中我们可以用二分查找法实现O(logn)的查找。本题给出的数组在一定程度上是排序的，因此可以试着用二分查找法的思路来寻找这个最小的元素。

（1）和二分查找法一样，用两个指针分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目中的旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例，后面再加以讨论）

（2）接着可以找到数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间元素的后面。可以把第一个指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。移动之后的第一个指针仍然位于前面的递增子数组之中。

（3）用更新之后的两个指针，重复做新一轮为查找。

按照上述思路，第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最终第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素，而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

特例1

特例：前面提到在旋转数组中，由于是把递增排序数组前面的若干个数字搬到数组的后面，因此第一个数字总是大于或者等于最后一个数字。但是按照定义还有一个特例：如果把排序数组的前面的0个元素搬到最后面，即排序数组本身，这仍然是数组的一个旋转。此时，数组中的第一个数字就是最小的数字，可以直接返回。即，一旦发现数组中第一个数字小于最后一个数字，表明该数组是排序的，就可以直接返回第一个数字了。

特例2

数组 A { 1,0,1,1,1 } 和 数组 B { 1,1,1,0,1 }都可以看成是递增排序数组 { 0,1,1,1,1 }的旋转。

在这两个数组（A、B）中，第一个数字、最后一个数字和中间数字都是1，我们无法确定中间的数字1属于第一个递增子数组还是属于第二个递增子数组。第二个子数组用灰色背景表示。

在这两种情况中，第一个指针和第二个指针指向的数字都是1，并且两个指针中间的数字也是1，这3个数字相同。在第一种情况中，中间数字（下标为2）位于后面的子数组；在第二种情况中，中间数字（下标为2）位于前面的子数组中。因此，当两个指针指向的数字以及它们中间的数字三者相同的时候，我们无法判断中间的数字是位于前面的子数组中还是后面的子数组中，也就无法移动两个指针来缩小查找的范围。此时，不得不采用顺序查找的方法。

测试用例&代码

（1） 功能测试（输入的数组是升序排序数组的一个旋转，数组中有重复的数字或者没有重复数字）

（2）边界值测试（输入的数组是一个升序排序的数组、只包含一个数字的数组）

（3）特殊输入测试（输入NULL指针）

// MinNumberInRotatedArray.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

// 《剑指Offer——名企面试官精讲典型编程题》代码
// 著作权所有者：何海涛

#include "stdafx.h"
#include<exception>

int MinInOrder(int* numbers, int index1, int index2);

int Min(int* numbers, int length)
{
    if(numbers == NULL || length <= 0)
        throw new std::exception("Invalid parameters");

    int index1 = 0;
    int index2 = length - 1;
    int indexMid = index1;
    while(numbers[index1] >= numbers[index2])
    {
        // 如果index1和index2指向相邻的两个数，
        // 则index1指向第一个递增子数组的最后一个数字，
        // index2指向第二个子数组的第一个数字，也就是数组中的最小数字
        if(index2 - index1 == 1)
        {
            indexMid = index2;
            break;
        }

        // 如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，
        // 则只能顺序查找
        indexMid = (index1 + index2) / 2;
        if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])
            return MinInOrder(numbers, index1, index2);

        // 缩小查找范围
        if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
            index1 = indexMid;
        else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
            index2 = indexMid;
    }

    return numbers[indexMid];
}

int MinInOrder(int* numbers, int index1, int index2)
{
    int result = numbers[index1];
    for(int i = index1 + 1; i <= index2; ++i)
    {
        if(result > numbers[i])
            result = numbers[i];
    }

    return result;
}

// ====================测试代码====================
void Test(int* numbers, int length, int expected)
{
    int result = 0;
    try
    {
        result = Min(numbers, length);

        for(int i = 0; i < length; ++i)
            printf("%d ", numbers[i]);

        if(result == expected)
            printf("\tpassed\n");
        else
            printf("\tfailed\n");
    }
    catch (...)
    {
        if(numbers == NULL)
            printf("Test passed.\n");
        else
            printf("Test failed.\n");
    }
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    // 典型输入，单调升序的数组的一个旋转
    int array1[] = {3, 4, 5, 1, 2};
    Test(array1, sizeof(array1) / sizeof(int), 1);

    // 有重复数字，并且重复的数字刚好的最小的数字
    int array2[] = {3, 4, 5, 1, 1, 2};
    Test(array2, sizeof(array2) / sizeof(int), 1);

    // 有重复数字，但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字
    int array3[] = {3, 4, 5, 1, 2, 2};
    Test(array3, sizeof(array3) / sizeof(int), 1);

    // 有重复的数字，并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字
    int array4[] = {1, 0, 1, 1, 1};
    Test(array4, sizeof(array4) / sizeof(int), 0);

    // 单调升序数组，旋转0个元素，也就是单调升序数组本身
    int array5[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    Test(array5, sizeof(array5) / sizeof(int), 1);

    // 数组中只有一个数字
    int array6[] = {2};
    Test(array6, sizeof(array6) / sizeof(int), 2);

    // 输入NULL
    Test(NULL, 0, 0);

    return 0;
}

本题考点

• 对二分查找的理解。本题变换了二分查找的条件，输入的数组不是排序的，而是排序数组的一个旋转。这要求我们对二分查找的过程有深刻的理解。
• 沟通学习能力。本题面试官提出了一个新的概念：数组的旋转。我们要在很短时间内学习理解这个新概念。在面试过程中如果面试官提出新的概念，我们可以主动和面试官沟通，多问几个问题把概念弄清楚
• 思维的全面性。排序数组本身是数组旋转的一个特例。另外，我们要考虑到数组中有相同数字的特例。如果不能很好地处理这些特例，就很难写出让面试官满意的完美代码。