GDOI2016 之 GDSOI 第一题 互补约数

互补约数

题目大意

已知函数

求它的前缀和函数

输入格式

输入包含一行，一个正整数 n。

输出格式

输出只有一行， F(n)。

样例输入

Sample Input 1
10

Sample Input 2
1000

输出格式

Sample Output 1
32

Sample Output 2
12776

数据范围

20分算法

虽然侥幸进了决赛，但还是只能想到20分的。
不难看出，题目让我们求的是

∑ni=1 ∑⌊ni⌋j=1 gcd(i,j) 。

这样子枚举一下 i ， j ，再打个gcd，求一下和就可以了。
这样20分就弄到手了。

100分算法

100分算法要用到莫比乌斯反演。
想学的可以自已查一下。
这里简单介绍它的内容。
mu(i)表示莫比乌斯函数。
如果满足

Fn=∑d|nGd

则满足

Gn=∑d|nFd∗mu(nd)

还有变式。
如果满足

Fi=∑⌊ni⌋d=1Gi∗d

则有

Gi=∑⌊ni⌋d=1Fi∗d∗mu(d)

如果想学的可以看我写的博客，链接如下:
http://blog.csdn.net/xianhaoming/article/details/51519100

好，介绍完了，现在进入正题。
我们设 fk 表示 gcd(i,j)=k 的对数， gk 表示 k|gcd(i,j) 的对数。其中一定满足题目 gcd(i,j)≤n√ 。
则现在满足

gk = ∑⌊n√k⌋i=1 fk∗i

根据莫比乌斯反演，得

fk = ∑⌊n√k⌋i=1 gk∗i∗mu(i)

那这样我们要求的答案就变成了

Ans= ∑n√k=1 k * fk

= ∑n√k=1 k * ∑⌊n√k⌋l=1 gk∗l∗mu(l)

我们设

s = l * k

则

Ans= ∑n√s=1 gs *( ∑d|s mu(d)∗sd )

我们发现 ∑d|s mu(d)∗sd 这一段只跟 s 有关，所以我们把此式子换成 Ws ，则

Ans= ∑n√s=1 gs * Ws

我们先说一下 W 数组怎么预处理。
我们发现很多 mu(i) 的值为0，对 W 没有贡献。
于是我们可以这么处理：

    E:=trunc(sqrt(N));
    for i:=1 to E do
    if mu[i]<>0 then
    for l:=1 to E div i do
    M[i*l]:=M[i*l]+mu[i]*l;

现在我们看一下 gs 怎么求。
易得

gs = ∑ns2i=1 ⌊ni∗s2⌋

现在我们尝试优化这个式子的时间复杂度。
我们发现对于多对（i，j），存在

⌊ni∗s2⌋ = ⌊nj∗s2⌋

这是我们可以分块，把一段 ⌊ni∗s2⌋ 的值相等的一段一次求完，这样就可以大大降低时间复杂度。详细做法见程序。

Code (pascal)

var
    bz:array[0..400000] of boolean;
    mu,jh,ss:array[0..400000] of int64;
    j,k,l,i:longint;
    cqy:extended;
    n,m,lj,P,O,bj,le,r,ans,pp:int64;
function min(a,b:INT64):INT64;
    begin
        if a<b then exit(a)
        else exit(b);
    end;
begin
    assign(input,'gcd.in'); reset(input);
    assign(output,'gcd.out'); rewrite(output);
    readln(n);
    m:=trunc(sqrt(n));
    mu[1]:=1;
    for i:=2 to m+1 do
    begin
        if bz[i]=false then
        begin
            inc(o);
            ss[o]:=i;
            mu[i]:=-1;
        end;
        for l:=1 to o do
        begin
            if ss[l]*i>m then break;
            bz[ss[l]*i]:=true;
            mu[ss[l]*i]:=-mu[i];
            if i mod ss[l]=0 then
            begin
                mu[ss[l]*i]:=0;
                break;
            end;
        end;
    end;
    for i:=1 to m+1 do
    if mu[i]<>0 then
    for l:=1 to m div i do
    jh[i*l]:=jh[i*l]+mu[i]*l;
    for i:=1 to m do
    begin
        le:=1;
        lj:=0;
        cqy:=n/i/i;
        bj:=n div i+1;
        while le<=bj do
        begin
            pp:=trunc(cqy/le);
            if pp<=0 then break;
            r:=min(bj,trunc(cqy/pp));
            lj:=lj+(r-le+1)*pp;
            le:=r+1;
        end;
        ans:=ans+lj*jh[i];
    end;
    writeln(ans);
    close(input);
    close(output);
end.