算法导论14.2如何扩张数据结构 练习总结

14.2-1 通过为结点增加指针的方式，试说明如何在扩张的顺序统计树上，支持每一动态集合查询操作 MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR 和 PREDECESSOR 在最坏时间 O(1) 内完成。顺序统计树上的其他操作的渐进性能不受影响。

ANSWER：

① MINIMUM：用一个指针指向树中最小的元素。每次插入时与 MINIMUM 比较检测是否需要更改。若删除 MINIMUM，则指针指向它的后继。旋转不影响 MINIMUM。

② MAXIMUM：同 MINIMUM。

③ PREDECESSOR、SUCCESSOR：给每个结点新增指向前驱和指向后继的指针。

插入：时间复杂度仍为 O(lgn)

插入 x 结点时，若 x ≠ MAXIMUM，利用 O(lgn) 时间找到 x 的后继 y，找到 y 后，y 的前驱 w 则只需 O(1) 时间，在用 O(1) 时间更新 w, x, y 的前驱、后继。若x == MAXIMUM，则利用 O(lgn) 时间找 x 的前驱，同理。

删除：和插入类似。

旋转不影响前驱、后继的指针。

14.2-2 能否在不影响红黑树任何操作的渐进性能的前提下，将结点的黑高作为书中结点的一个性能来维护？说明如何做，如果不能，请说明理由。如何维护结点的深度？

ANSWER：可以，插入和删除操作支队根结点刀某一叶结点上的路径上的结点（或部分叔结点）进行修改，即 O(lgn) 个结点。

而自插入(删除)结点向上，每个结点黑高修改只需 O(1) 时间。根据插入和删除的不同情况进行修改操作即可。所以总的修改时间为 O(lgn)。

*14.2-3 设 ⊙ 为一个满足结合律的二元运算符，a 为红黑树中每个结点上的一个要维护的属性，假设在每个结点 x 上增加一个属性 f，使 x.f = x1.a ⊙ x2.a ⊙...⊙ xm.a，其中 x1, x2，...，xm 是以 x 为根的子树中按中序次序排列的所有结点。说明在一次旋转后，如何在 O(1) 时间内更新 f 属性。对你的扩张稍做修改，使得它能够应用到顺序统计树的 size 属性中。

ANSWER：旋转只对 O(1) 个结点修改，旋转后只需对旋转了的 O(1) 个结点进行 x.f = x.left.f ⊙ x.a ⊙ x.right.f 修改即可。所以总时间为 O(1)。

*14.2-4 希望设计一个操作 RB-ENUMERATE(x, a, b)，来对红黑树进行扩张。该操作输出所有的关键字 k，使得在以 x 为根的红黑树中有 a ≤ k ≤ b。描述如何在 Θ(m+lgn) 时间内实现 RB-ENUMERATE，其中 m 为输出的关键字数目，n 为树种的内部结点数。（提示：不需要向红黑树中增加新的属性。）

ANSWER：在红黑树中查找关键字 a；若不存在，则插入关键字 a，再查找 a 的后继；删除结点 a。然后调用 m 次后继函数，直至发现下一个后继的关键字大于 b。PS：连续 m 次调用后继函数的时间为 O(m+h)，即O(m+lgn)。证明见 12.2-8 。