(法)H.嘉当(H.Cartan)、塞尔（J.P.Serre）、施瓦茨（L.Schwartz）等[著]，刘应明、胡师度[译]：代数结构与拓扑结构



本书是法国数学会与法国数学教师联合会举办的几期讲座的演讲集，所收讲稿主要介绍抽象数学的基本概念。
第一篇 代数结构
第一讲 代数结构（H.Cartan）
H.Cartan（索尔本大学教授）
1.引言
事实上，不可能预先给代数划定什么不可逾越的范围（任何科学分支的情形也是如此），因为无法预见到在探索过程中会显现出哪些新领域。
粗略地说，可以认为代数是研究对一个或几个集合的元素施行的某些运算，而不考虑这些元素本身的性质。对于给了某些运算的一个几何，一切所能阐述的内容也完全适用于与它同构的任何其他集合（后文中要介绍同构的概念）。对代数的这种理解可能一个世纪以来都占上风，然而最近的进展无疑必将使代数扩大其过于狭窄的范围，因而上述理解今日可能已经过时了。
2.运算的概念
从算术起就有了运算的概念。……于是，一个运算就是定义在集合A×B上并在集合C中取值的函数。我们也说，运算是把A×B映入C的一个映射。
一个重要情形是这三个集合A、B与C相同的情形，此时，考虑的是一个映射f:A×A->A，这样的函数叫做：内合成法则。如果只假定B=C，则得到所谓的外合成法则：即是把A×B映入B的函数。……不过，把B映入B的映射也称作B的一个变换，于是外合成法则相应于A的每个元素给出B的一个变换；集合A就叫做算子域，并说A作用于B。
----小嘉当举了几个内合成法则和外合成法则的例子，此处略过。
以后我们几乎只讨论内合成法则。
3.内合成法则的各种性质
结合性：一个合成法则，比如记作乘法（ab表示a与b的合成），称为结合的，如果对任意的a、b、c，有(ab)c=a(bc)。
容易给出非结合法则的例子：对一对实数(a,b)，我们使其和之半(a+b)/2与之相应；立即可以验明这个法则不是结合的。
交换性：一个内法则（为确定计记作乘法）称为交换的，如果对任意a与b，有ab=ba。
……
这样，就存在结合的但不是交换的法则。同样也有一些交换的但不是结合的法则，例如求两实数ayub之和之半的法则。
一个法则如果既交换又结合，则可以定义任意元素组（自然是有限组——译注）的合成，而不必计及它们的次序。
中性元：给了一个内法则（为确定计记作乘法），元素e称为中性元，若对每个元素a，有ae=ea=a。这种元素不一定存在，但若存在必唯一，因为若e与e'是两个中性元，则有e=ee'=e'。
逆元：考虑一个有中性元e的内法则。我们说a与b互为逆元，若ab=ba=e。
如果a至少有一个逆元，并且法则是结合的，那么a的逆元是唯一的；因为b与b'都是a的逆元，则有b=be=b(ab')=(ba)b'=eb'=b。
4.由一个或多个合成法则定义的代数结构
设E是一集合。给了一个或多个合成法则，就在E上定义了一个代数结构。
----小嘉当用上面的概念非形式化的介绍了群、环、体[除环]的公理化定义，此处略过。
体A的非零元素构成一个乘法群。
伽罗瓦已经确定了所有的有限体[有限除环<=>有限域]，亦即具有有限多个元素的体。最简单的是只有两个元素0与1的体[F_2=GF(2)]，其加法与乘法是显然的（特别有1+1=0）。对每个素数p与每个整数指数f>=1，存在恰好有p^f元素的体，并且这样的体是唯一的。记整数p^f为n，体中每个元素x满足方程x^n-x=0（这就给出一个例子，说明存在系数不全为零的多项式，对变量所有的值均为零；这个多项式是n次的，并且变量仅能取n个不同的值，因为体中仅有n个元素）。如果整数n不是p^f形状的数，则不存在n个元素数组成的体。
5.同构概念
方才说存在唯一一个具有p^f个元素的体。这不完全对。正确的说法是：如果两个体有同样多个元素，则它们是同构的。就是说这两个体的元素之间存在一个一一对应，并且这个对应保持加法与乘法。
代数对象实际上只研究到同构为止。这正是实质所在，因为我们只关心所研究运算的性质。
6.从已有的代数对象构造新的代数对象：多项式环的例子
粗略地说，同态是一个保持合成法则的映射。
7.商结构
从已有代数结构造出新的代数结构时，常常需要等价关系的概念。
8.与等价关系相容的合成法则
设R是集合E中的等价关系，还给了E中一个内合成法则（为确定计记为乘法）。如果合成元xy的等价类仅仅依赖于x的等价类与y的等价类，就得到等价类集合E/R中的一个合成法则。（此时亦说这个合成法则与等价关系相容——译注）

第二讲 环，同余，理想（P.Dubreil）
多于一个元素的环K，K≠{0}，关于乘法决不能成群，这是因为：
a≠0,a·0=0·a=0。但是，K-{0}关于K的乘法有可能成群（即K中两个非零元的积不是零，存在单位元e，并且每一元a≠0具有逆元素a^(-1)：aa^(-1)=a^(-1)a=e）。如果这样，就说K是体。----域
2.例
全体整数的集合Z是环；全体偶数的集合也是环，因为我们不要求环具有单位元。有理数集Q，实数集R，复数集C都是域（包含集合Z）。
代数数的集合A也是域。所谓代数数，就是有理系数或整系数（两者是一回事）代数方程的根（实数或复数）。
给了一个环R，我们可以定义系数在R中的、字母X的多项式环R[X]，以及系数在R[X]中的、字母Y的多项式环R[X][Y]；后面这种多项式可以写成∑[ij]a_ijX^iY^j,a_ij∈R（诸系数a_ij中仅有有限多个不为零），关于字母X和Y显然对称，这就得到所谓的系数在R中的字母X与Y的多项式环，记成R[X,Y]。可以递推定义系数在R中的、n个未定元的多项式环R[X_1,…,X_n]。
另一个重要的环是模m整数环，m是给定的整数。一般，只要m不是素数，Z/(m)就不是整域或整环；反之，若p为素数，则Z/(p)是整环，甚至是域。
在复数域C中，我们考虑实部和虚部都是有理数的复数，这些数的集合显然是域，记为Q(i)。记号Q(i)表明，这是C中包含域Q与数i的最小子域。我们说,Q(i)是由添加i而得。可以不使用C而从Q出发用下述方法直接构造域Q(i),这是后面要讨论的符号添加法的特例。
在多项式环Q[x]中，考虑多项式x^2+1，现在让它担任前面讨论整数环Z时模m的那种角色。多项式等价类的集合构成环，称为商环，或称剩余类环，记为Q[x]/(x^2+1)。Q中不同的数属于不同的等价类，可以把两者看成一样。每个等价类中都含有一个一阶多项式ax+b，即是类中各个多项式用x^2+1去除所得的公共余式。----i=x(x^2+1),ai+b=(ax+b)(x^2+1),0,x^2+1∈(0)(x^2+1)
最后，若a，b不全为零，则a+bi(≠0)有逆元(a-bi)/(a^2+b^2)。这个商环正好就是包含Q与方程x^2+1=0的根i的域（显然，不存在任何更小的域具有此性质）。
上面的纯代数方法起始于柯西，如用实数域R代替有理数域Q，也可用这种方法造出复数域C=R(i)。我们也可以把-1换成一个不是完全平方的整数d，让按上述方法构造出域Q(sqrt(d))=Q[x]/(x^2-d),特别，可以用纯代数的方法界定形如sqrt(d)的无理数。上面的方法叫做符号添加法，可以用来定义任意的代数数，这是后话。


第三讲 向量空间，线性形式与线性方程（G.Choquet）
第四讲 线性映射与矩阵（A.Lichnerowicz）
第五讲 二次形式与厄米形式（P.Lelong）
注：
（1）C_n的酉变换构成一个群，叫做酉群；同样，E_n的正交变换构成正交群。这样的群叫做Lie群。

第六讲 典型群（L.Lesieur）
1.体K上n元线性群
令K^n=E是向量x组成的向量空间，x的n个分量属于可换体K[域K]。考虑线性变换x->x’=Ax，定义为
x’=Ax=(a_ij)x，
诸系数a_ij属于体K，并且相应的行列式不为零。所有这样的线性变换构成一个群，称为K上的n元线性群，记成GL(n,K)。
特别，行列式为1的所有线性变换构成GL(n,K)的子群，称为n元特殊线性群，或幺模群，记成SL(n,K)。 
本文要讨论的群是一般线性群的所有子群，K是复数体或实数体。按H.外尔的命名，这些群称为典型群。至于任意体的情形是近年研究的对象，其主要结果已汇集于范德瓦尔登的书[2]与[3]和J.丢东涅的书[4]与[5]中。
3.正交群
因为两个正交变换的乘积仍是正交变换，故所有正交变换构成一个群，称为正交群，记为O(n,K)。有两种正交变换：行列式为+1的称为旋转。构成O(n,K)的子群O^+(n,K)，而行列式为-1的则称为翻转（当然不构成子群）。
若K是复数体，则实数体R上的实正交群O(n,R)显然是O(n,K)的子群。
性质：正交变换保持两个向量的纯量积。
6.酉群。
两个酉变换的乘积仍是酉变换, 故所有的酉变换构成一个群：酉群U(n,K)。
行列式等于1的酉变换构成酉群与特殊线性群的子群：特殊酉群SU(n,K)。
7.辛群
假定空间E是偶维：n=2m。向量x的坐标是x_1,x'_1,x_2,x'_2,…,x_m,x'_m。
对于两个向量x与y，我们考虑相应的
f(x,y)=x_1y'_1-x'_1y_1+x_2y'_2-x'_2y_2+…+x_2y'_2-x'_2y_2，
这是两个向量的交错双线性形式：f(y,x)=-f(x,y)。
保持f(x,y)不变的线性变换称为辛变换，因此它由下式定义：
f(x,y)=f(Ax,Ay)。
相应的矩阵A称为辛矩阵。两个辛变换的积仍是辛变换。为证明辛变换构成一个群，我们来证明辛变换是可逆的。
n=2时，辛变换就是保持定向面积不变的变换，所以是特殊线性群SL(2,K)中的变换。在n=2m的一般情形，考虑矩阵A的列向量，
……
这是A为辛矩阵的充要条件。
……
因此，辛变换构成一个群，称为辛群SP(n,K)。
9.辛群的生成
定理4：每个辛变换A是有限多个辛横截的积。
作为定理4的推论，每个辛变换的行列式都为1。因此，辛群SP(n,K)是特殊线性群SL(n,K)的子群。
10.对称群
n个元素的有限集合A上的全体置换所成的群称为对称群或n次对称群（symmetric group）S_n，它的子群又称为n次置换群（permutation group）。这是具有n!个元素的有限群。它可用K^n的线性变换实现；事实上，例如，考虑三个元素的集合(x_1,x_2,x_3)，置换{x_1,x_2,x_3}->{x_3,x_2,x_1}可表示成：
{{x_3},{x_2},{x_1}}={{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}{{x_1},{x_2},{x_3}}，
所以，其矩阵表示的每行、每列都只有一个非零元素，即是1。这对任意n也成立。由此，群S_n可视为正交群的子群；这个群的旋转有n!/2个。相当于偶置换，它们构成S_n的子群：交代群A_n。
练习
 1.设R是一翻转变换，则总存在一向量x≠0使得Rx=-x。换言之；任何翻转变换的矩阵都有一个特征值-1。
问：求曲率矩阵Ω的特征值λ（这里的特征值是微分形式）。
2.若n是奇数，则一个旋转变换恒具有通过原点不变向量转轴。换言之：当n为奇数时，+1是任一旋转变换的矩阵的特征值。
3.证明：正交矩阵的特征值，即方程det(A-sI)=0的根，都是模等于1的数。
第七讲 射影空间（A.Revuz）
第二篇 拓扑结构
第一讲 数直线及其基本拓扑性质（G.Choquet）
第二讲 欧氏空间与尺度空间，尺度概念与拓扑概念（A.Revuz）
第三讲 与尺度空间结构有关的概念（G.Choquet）
第四讲 某些函数空间与收敛方式的研究（J.Dixmier）
第五讲 一般拓扑的概念，拓扑空间的构造法（Ch.Pisot）
第六讲 紧致空间与局部紧致空间（Ch.Pisot）
第七讲 代数结构与拓扑结构的相容性，拓扑群与拓扑向量空间（R.Godement）
第八讲 维数的概念（H.Cartan）
第九讲 覆盖与基本群（J.P.Serre）
第十讲 代数拓扑：同调论初步（L.Schwartz）