图基本算法 最小生成树 Prim算法（邻接表/邻接矩阵+优先队列STL）

     这篇文章是对《算法导论》上Prim算法求无向连通图最小生成树的一个总结，其中有关于我的一点点小看法。

　　最小生成树的具体问题可以用下面的语言阐述：
　　　　输入：一个无向带权图G=(V,E)，对于每一条边(u, v)属于E，都有一个权值w。

　　　　输出：这个图的最小生成树，即一棵连接所有顶点的树，且这棵树中的边的权值的和最小。

　　举例如下，求下图的最小生成树：

　　这个问题是求解一个最优解的过程。那么怎样才算最优呢？

　　首先我们考虑最优子结构：如果一个问题的最优解中包含了子问题的最优解，则该问题具有最优子结构。

　　最小生成树是满足最优子结构的，下面会给出证明：

　　最优子结构描述：假设我们已经得到了一个图的最小生成树(MST) T，(u, v)是这棵树中的任意一条边。如图所示：

　　现在我们把这条边移除，就得到了两科子树T₁和T_{2，如图：}

 

　　T₁是图G₁=(V₁, E₁)的最小生成树，G₁是由T₁的顶点导出的图G的子图，E₁={(x, y)∈E, x, y ∈V₁}

　　同理可得T₂是图G₂=(V₂, E₂)的最小生成树，G₂是由T₂的顶点导出的图G的子图，E₂={(x, y)∈E, x, y ∈V₂}

　　现在我们来证明上述结论：使用剪贴法。w(T)表示T树的权值和。

　　　　首先权值关系满足：w(T) = w(u, v)+w(T₁)+w(T₂)

　　　　假设存在一棵树T₁'比T₁更适合图G1，那么就存在T'={(u,v)}UT₁'UT₂'，那么T'就会比T更适合图G，这与T是最优解相矛盾。得证。

　　因此最小生成树具有最优子结构，那么它是否还具有重叠子问题性质呢？我们可以发现，不管删除那条边，上述的最优子结构性质都满足，都可以同样求解，因此是满足重叠子问题性质的。

　　考虑到这，我们可能会想：那就说明最小生成树可以用动态规划来做咯？对，可以，但是它的代价是很高的。

　　我们还能发现，它还有个更强大的性质：贪心选择性质。因而可用贪心算法完成。

　　贪心算法特点：一个局部最优解也是全局最优解。

　　最小生成树的贪心选择性质：令T为图G的最小生成树，另A⊆V，假设边(u, v)∈E是连接着A到A的补集（也就是V-A)的最小权值边，那么(u, v)属于最小生成树。

　　证明：假设(u, v)∉T， 使用剪贴法。现在对下图进行分析，图中A的点用空心点表示，V-A的点用实心点表示：

　　在T树中，考虑从u到v的一条简单路径（注意现在(u, v)不在T中），根据树的性质，它是唯一的。

　   现在把(u, v)和这条路上中的第一条连接A和V-A的边交换，即画红杠的那条边，边(u, v)是连接A和V-A的权值最小边，那我们就得到了一棵更小的树，这就与T是最小　　生成树矛盾。得证。

　　现在呢，我们来看看Prim的思想：Prim算法的特点是集合E中的边总是形成单棵树。树从任意根顶点s开始，并逐渐形成，直至该树覆盖了V中所有顶点。每次添加到树中的边都是使树的权值尽可能小的边。因而上述策略是“贪心”的。

　　算法的输入是无向连通图G=(V, E)和待生成的最小生成树的根r。在算法的执行过程中，不在树中的所有顶点都放在一个基于key域的最小优先级队列Q中。对每个顶点v来说，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值；按规定如果不存在这样的边，则key[v]=∞。

　　实现Prim算法的伪代码如下所示：

　　MST-PRIM(G, w, r)

　　　　for each u∈V

　　　　　　do key[u] ← ∞

　　　　　　　  parent[u]← NIL

　　　　key[r] ← 0

　　　　Q ← V

　　　　while Q ≠∅

　　　　　　do u ← EXTRACT-MIN(Q)

　　　　　　　　for each v∈Adj[u]

　　　　　　　　　　do if v∈Q and w(u, v) < key[v]

　　　　　　　　　　　　then parent[v] ← u

　　　　　　　　　　　　　　  key[v] ← w(u, v)

　　其工作流程为：

　　　　（1）首先进行初始化操作，将所有顶点入优先队列，队列的优先级为权值越小优先级越高

　　　　（2）取队列顶端的点u，找到所有与它相邻且不在树中的顶点v，如果w(u, v) < key[v]，说明这条边比之前的更优，加入到树中，即更改父节点和key值。这中间还　　　　隐含着更新Q的操作（降key值）

　　　　（3）重复2操作，直至队列空为止。

　　　　（4）最后我们就得到了两个数组，key[v]表示树中连接v顶点的最小权值边的权值，parent[v]表示v的父结点。

　　现在呢，我们发现一个问题，这里要用到优先队列来实现这个算法，而且每次搜索邻接表都要进行队列更新的操作。

　　不管用什么方法，总共用时为O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))

　　　　（1）如果用数组来实现，总时间复杂度为O(V²)

　　　　（2）如果用二叉堆来实现，总时间复杂度为O(ElogV)

　　　　（3）如果使用斐波那契堆，总时间复杂度为O(E+VlogV)

　　上面的三种方法，越往下时间复杂度越好，但是实现难度越高，而且每次对最小优先队列的更新是非常麻烦的，那么，有没有一种方法，可以不更新优先队列也达到同样的　　效果呢？

　　答案是：有。

　　其实只需要简单的操作就可以达到。首次只将根结点入队列。第一次循环，取出队列顶结点，将其退队列，之后找到队列顶的结点的所有相邻顶点，若有更新，则更新它们的key值后，再将它们压入队列。重复操作直至队列空为止。因为对树的更新是局部的，所以只需将相邻顶点key值更新即可。push操作的复杂度为O(logV)，而且省去了之前将所有顶点入队列的时间，因而总复杂度为O(ElogV)。

　　具体实现代码，邻接矩阵优先队列可以用STL实现：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

#define maxn 110  //最大顶点个数
int n, m;       //顶点数，边数

struct arcnode  //边结点
{
    int vertex;     //与表头结点相邻的顶点编号
    int weight;     //连接两顶点的边的权值
    arcnode * next; //指向下一相邻接点
    arcnode() {}
    arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
};

struct vernode      //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点
{
    int vex;    //当前定点编号
    arcnode * firarc;   //与该顶点相连的第一个顶点组成的边
}Ver[maxn];

void Init()  //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        Ver[i].vex = i;
        Ver[i].firarc = NULL;
    }
}

void Insert(int a, int b, int w)  //尾插法，插入以a为起点，b为终点，权为w的边，效率不如头插，但是可以去重边
{
    arcnode * q = new arcnode(b, w);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        if(p->vertex == b)
        {
            if(p->weight > w)
                p->weight = w;
            return ;
        }
        while(p->next != NULL)
        {
            if(p->next->vertex == b)
            {
                if(p->next->weight > w);
                    p->next->weight = w;
                return ;
            }
            p = p->next;
        }
        p->next = q;
    }
}
void Insert2(int a, int b, int w)   //头插法，效率更高，但不能去重边
{
    arcnode * q = new arcnode(b, w);
    if(Ver[a].firarc == NULL)
        Ver[a].firarc = q;
    else
    {
        arcnode * p = Ver[a].firarc;
        q->next = p;
        Ver[a].firarc = q;
    }
}
struct node     //保存key值的结点
{
    int v;
    int key;
    friend bool operator<(node a, node b)   //自定义优先级，key小的优先
    {
        return a.key > b.key;
    }
};

#define INF 0xfffff    //权值上限
int parent[maxn];   //每个结点的父节点
bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
node vx[maxn];      //保存每个结点与其父节点连接边的权值
priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
void Prim()    //s表示根结点
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
    {
        vx[i].v = i;
        vx[i].key = INF;
        parent[i] = -1;
        visited[i] = false;
    }
    vx[1].key = 0;
    q.push(vx[1]);
    while(!q.empty())
    {
        node nd = q.top();  //取队首，记得赶紧pop掉
        q.pop();
        if(visited[nd.v])   //注意这一句的深意，避免很多不必要的操作
            continue;
        visited[nd.v] = true;
        arcnode * p = Ver[nd.v].firarc;
        while(p != NULL)    //找到所有相邻结点，若未访问，则入队列
        {
            if(!visited[p->vertex] && p->weight < vx[p->vertex].key)
            {
                parent[p->vertex] = nd.v;
                vx[p->vertex].key = p->weight;
                vx[p->vertex].v = p->vertex;
                q.push(vx[p->vertex]);
            }
            p = p->next;
        }
    }
}

int main()
{
    int a, b ,w;
    cout << "输入n和m: ";
    cin >> n >> m;
    Init();
    cout << "输入所有的边:" << endl;
    while(m--)
    {
        cin >> a >> b >> w;
        Insert2(a, b, w);
        Insert2(b, a, w);
    }
    Prim();
    cout << "输出所有结点的父结点:" << endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << parent[i] << " ";
    cout << endl;
    cout << "最小生成树权值为：";
    int cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cnt += vx[i].key;
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

当明确知道没有重边时，用Insert2()进行插入能提高效率），运行结果如下（基于第一个例子）：

可用下列题进行测试：HDU搜索“畅通工程” POJ 1251
接下来是邻接矩阵实现Prim，非常简单，但是有几点还是需要注意的：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;

#define maxn 110
#define INF 100020    //预定于的最大值
int n;   //顶点数、边数
int g[maxn][maxn];      //邻接矩阵表示

struct node     //保存key值的结点
{
    int v;
    int key;
    friend bool operator<(node a, node b)   //自定义优先级，key小的优先
    {
        return a.key > b.key;
    }
};
int parent[maxn];   //每个结点的父节点
bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
node vx[maxn];      //保存每个结点与其父节点连接边的权值
priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
void Prim()    //s表示根结点
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
    {
        vx[i].v = i;
        vx[i].key = INF;
        parent[i] = -1;
        visited[i] = false;
    }
    vx[1].key = 0;
    q.push(vx[1]);
    while(!q.empty())
    {
        node nd = q.top();  //取队首，记得赶紧pop掉
        q.pop();
        if(visited[nd.v] == true)   //深意，因为push机器的可能是重复但是权值不同的点，我们只取最小的
            continue;
        int st = nd.v;
        //cout << nd.v << " " << nd.key << endl;
        visited[nd.v] = true;
        for(int j = 1;  j <= n; j++)
        {
            if(j!=st && !visited[j] && g[st][j] < vx[j].key)    //判断
            {
                parent[j] = st;
                vx[j].key = g[st][j];
                q.push(vx[j]);

            }
        }
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))　　//点的个数
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)　　//输入邻接矩阵
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
                scanf("%d", &g[i][j]);
                if(g[i][j] == 0)
                    g[i][j] = INF;　　//注意0的地方置为INF
            }
        Prim();　　//调用
        int ans = 0;　　//权值和
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            ans += vx[i].key;
        printf("%d\n", ans);

    }
    return 0;
}

题目：POJ 1258