学习数学系列<二>

因为昨天偷懒了所以今天还停留在第一节

1.5函数的极限
如果 f 在 x0 的去心邻域(或者邻域)有定义，设 l>0 ，

∀ϵ>0,∃δ>0，使得x∈{0<|x−x0|<δ},都有|f(x)−l|<ϵ

则称当 x−>x0 时函数 f 有 极限 l ，记作：

limx−>x0f(x)=l

定理1.1
设： limx−>x0f(x) && limx−>x0g(x)存在 ，
那么：
1. limx−>x0(f±g)(x)=limx−>x0f(x)±limx−>x0g(x)
2. lim(fg)(x)=limx−>x0f(x)⋅limx−>x0g(x)
3. lim(fg)(x)=limx−>x0f(x)limx−>x0g(x),其中limx−>x0g(x)≠0.

定理1.2
逼(夹)近(逼)原理
因为感觉这更像逼近原理，所以我们把原名字改一改。
设函数 f,g,h在x0的去心邻域中 满足不等式：

f(x)<=h(x)<=g(x)

如果 f && g在x0处有相同的极限l ，则
limx−>x0h(x)=l

定义：左极限和右极限
设 f 在点 (x0,x0+r) 上有定义( r∈R+ 且为定值)
设 l 是一个给定的实数.若对任意给定的 ε>0 ，存在一个 δ∈(0,r) ，使得当 0<x−x0<δ 时有

|f(x)−l|<ϵ

则称 l 为 f 在 x0 处的 右极限，表示成：

limx−>x+0f(x)

表示成图片，就是在 x0 右侧的点的极限，即 x>x0 的极限。
<也就是那个x的位置>
常记为 f(x+0) ，同样地，对 左极限也有定义。
就是向左靠近的极限。

定理1.3
设函数 f 在点 x0 的某个领域内( x0 可能是例外) 有定义，那么 limx→x0f(x) 存在的充分必要条件是

f(x+0)=f(x−0)

limx→x0f(x) 就是这个相同的值。
我们考虑一个反比例函数： y=1x 那么，我们知道：
f(0+)=+∞,f(0−)=−∞
所以反比例函数在0处没有极限。

几个有用的极限：
limx−>∞(1+1x)x=e
limx−>0sinxx=1
我们来简单证明下第二个。
当 0<x<π2时，0<sinx<x<tanx
所以：
sinxtanx=cosx<1,sinxx<1
所以有
cosx<sinxx<1
那么由逼近定理可知 f(0+)=1 ，然后因为 f 是偶函数，所以 f(0−)=1 。
然后我们就能根据定理1.3知道

limx−>0sinxx=1

定义1.7
无穷大和无穷小
设 x0 是一个实数，函数 f(x) 在 x0 的去心邻域中有定义. 如果 ∀A>0 , ∃δ>0 ，使得当 0<|x−x0|<δ 时，有 |f(x)|>A ，则称“当 x 趋向于 x0 时，函数 f 趋向于无穷大.记作：

limx−>x0f(x)=+∞

或者: f(x)−>+∞(x−>x0)
同理，我们定义 无穷小.

定义1.8
高级的无穷小形式
设 x−>x0 时， f 和 g 都是无穷小，并且 g在x0的去心邻域内不取0值 。
1.如果： limx−>x0f(x)g(x)=0 ，那么 f 就是比 g 更高阶的无穷小。
2.如果： limx−>x0f(x)g(x)=l≠0 ，那么 f 就是与 g 同阶的无穷小。
3.如果： limx−>x0f(x)g(x)=1 ，那么 f 就是与 g 等价的无穷小，记作：
f∼g(x−>x0)

我们等晚上再写。