差分约束系统

前言

这是一篇学习小记。（如果你很赶时间直接跳过前言）
由于本蒟蒻之前没有接触过这类题目，所以最近被一道题虐了一下，然后学习了。
其实这个名字很耳熟，只是在我小的时候，听说了，却没有去学习。
好吧，其实现在才这个东西是个非常基础的东西，但是它的思路极为巧妙。

例题

首先来看一道题。

有一段长度为n的序列，点分为特殊点和一般点。有q个提示，提示形如(x,y,c)的三元组，表示序列中的区间[x,y]中至少有c个特殊点。提示保证特殊点的分配方案唯一。现在要求哪些点是特殊点。

差分约束系统

我们设 s[i] 表示 [1,i] 中有 s[i] 个特殊点。
那么我们的提示 (x,y,c) 可以转换为这样的约束： s[y]−s[x−1]≥c
当然，还有一些隐含的约束条件：
∀i∈[1,n],0≤s[i]−s[i−1]≤1
具体如何约束，可以这样构图：
对于三元组，令 x−1 向 y 连一条长度为 c 的边；
对于隐含约束，令 i−1 向 i 连一条长度为 0 的边， i 向 i−1 连一条长度为 −1 的边。
然后跑一边最长路，求出了所有的 s ，若 s[i]−s[i−1]=1 ，则说明 i 是一个特殊点，其实 s 就相当于普通最短路中的 dis 。
至于这样做的原理，可以用最短（其实可能是最长）路的性质来解释。
设有两个点 u,v∈G ， dis[u] 表示源点到 u 的最长距离， w(u,v) 表示 (u,v) 的边权。
那么

dis[u]≥dis[v]+w(u,v)   (1)

恒成立。
而我们的约束化成一般形式即

s[u]−s[v]≥c

移项，恰好与 1 式等价。所以这就是我们将 c 作为 w(u,v) 的原因。
当然具体题目中因题而定到底是最短路还是最长路。