leetcode-【中等题】Divide Two Integers

题目

Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

If it is overflow, return MAX_INT

链接

https://leetcode.com/problems/divide-two-integers/

答案

1、int的最大值MAX_INT为power(2,31)-1 = 2147483647

2、int的最小值MIN_INT为-power(2,31) = -2147483648

3、当MIN_INT除以-1的时候，发生溢出，因为得到的值大于MAX_INT

4、有符号数的最高位为1时，表示负数，所以可以使用异或运算获得商的符号

5、abs的各种版本看这里，double abs(double),long abs(long)竟然在C++中有，其实我想自己写个求绝对值方法的，不过，手抖还是搜了一下abs的原型。

6、这才是重中之重，刚开始看到题目，我不知道怎么用位运算去实现除法，先搜到答案

然后思考其中的原理，为什么可以这么做，思考之后自己才写了代码。

我的推理如下，如有问题，请指出，谢谢。下面我有^表示指数，不要跟C++中的^弄混了。

a = b * x （x为要求的商，等号应该为约等于，其实嘛，应该是a >= b * x && a < b * (x+1)）

任何一个整数是可以用二进制表示的，所以x=2^m + 2^n + ...... + 2^t,其中m > n > t，m，n，t为整数。

x还可以这么表示x = 1*2^m + 0 * 2^(m-1) + 1 * 2^(m-2) + ...... + (1或0)*2^0。

事实上x还可以这么表示：

x = (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) + (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) + ...... + (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0)，其中k > t > ...... > r。

所以 a = b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) +b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) + ...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0).

并且k，t，r等满足以下关系：

b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) + ...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0)  < b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) 

...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0) < b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0)  - b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0)

第一次是 a - b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0)  = b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) + ...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0)

对b进行不断左移，即上式的橙色部分，而并累加位移(2^x')是x的一部分，将a不断减去不断左移后的b，即可得到等式左边的数据。

a - b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0)  < b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) 

即b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) + ...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0) < b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) 

这个是必然成立的，如果不成立，则b还可以继续左移，即k的值要比当前达到的k还要大，故每次a处理后的结果会比b处理后的结果要小。

第二次是a - b * (2^k + 2^(k-1) + ...... + 2^0) - b *  (2^t + 2^(t-1) + ...... + 2^0) = ...... + b * (2^r + 2^(r-1) + ...... + 2^0)

蓝色部分为第一次的结果。

推到这里，大家应该懂了

代码

 1 class Solution {
 2 public:
 3     static const int MAX_INT = 2147483647;
 4     static const int MIN_INT = -2147483648;
 5     
 6     int divide(int dividend, int divisor) {
 7         if(dividend == MIN_INT && divisor == -1)
 8         {
 9             return MAX_INT;
10         }
11         
12         long pre = abs((long)dividend);
13         long post = abs((long)divisor);
14         int index;
15         int rem = 0;
16         
17         while(pre >= post)
18         {
19             long tmp = post;
20             for(index = 0; pre >= tmp; index ++, tmp <<= 1)
21             {
22                 pre -= tmp;
23                 rem += (1 << index);
24             }
25         }
26         
27         return (dividend >> 31) ^ (divisor >> 31) ? -rem:rem;
28     }
29 };

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