A004-补码-(ques=1)
今天看到《C语言深度解剖》里面讲负数存储用补码，一时就补习一下求补码。
于是看到一篇很好的文章，它把补码用数学方式进行表达。
读完了《编码-隐匿在计算机软硬件背后的语言》(csdn下载)，总算知道了计算机为什么使用补码：为了使用加法器做减法。
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补码的第一种定义( 数学定义 )：
以8位宽度为例，已知一个数 X，其 8 位字长的补码定义为：
....................| X; 0 <= X <= +127 ；(也就是说：正数和0的补码，就是该数字本身)
X的补码 = |
....................| 2^8 －|X|; －128 <= X < 0 ； (也就是说：8bit负数的补码，就是用 1 0000 0000，减去该数字的绝对值)
当然，补码求反码的定义也是和这里定义的补码的一样。
他举了例子：
例如 X = －126，其补码为 1000 0010，计算方法如下：
1 0000 0000
－ 0111 1110
－－－－－－－－－－－
1000 0010
应用补码进行运算：
用补码计算：83－25＝58。
83 －－－都变成补码，再用加法运算－－> 0101 0011
－ 25 －> 1 0000 0000 - 0001 1001－> + 1110 0111
－－－－－ －－－－－－－－
58 <－－忽略进位1，结果就是正确的－－[1] 0011 1010
用这个定义求出-128的补码是0b10000000。
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补码的第二种定义( 机器步骤定义 )：
这个定义和平常见到的求补码的结果一致。
平时求补码的步骤：
....................| 正数和0的补码，就是该数字本身
X的补码 = |
....................| 负数的补码，等于X的反码(符号位不求反) + 1(符号位参与运算)，
当然，补码求反码的定义也是和这里定义的补码的一样。
用这个定义求不出-128的补码，因为-128的原码就是9bit了，超出8bit了。
这个问题将在下面的描述中得以解决。
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补码在计算机内部的状况
上面给出了求补码的2种方法，下面讲讲计算机使用补码的原因：在加法器上、使用补码来实现减法。
首先、减法会涉及到负数，因为对于A - B，我们将其视为：A + (-B) = A + C，C = -B。
使用Python计算补码、转化数值进制，让我较为容易地完成了下面的内容：
// 求 -x 补码(正数不用求补码)
def comp(x):
print "-%d --> %s == %d" %( (x), bin((x ^ 0b11111111)+1), ((x ^ 0b11111111)+1) )
用
comp(x)求出
-x 的补码，并显示该补码的
二进制形式和
十进制形式
例如：
这里求出的-127的补码是0b10000001，而0b10000001这个数的十进制是129。
可以对照下面给出的补码表，可以看出这里得到的-1、-127、-128的补码都是对的。
负数怎么表示
1、在8位宽度下，我们可以表示的二进制数的范围是[0b00000000,0b11111111] (用闭区间表示)。
也就是十进制的0-255，这可以直接用来表示为0-255的正数。
为了表示负数，人们想出了一个方法：用bit7表示正负号(1表示负数，0表示正数)，bit6-bit0表示具体的数值(绝对值)。
也就是说、只能将0-255这256个数字切为两半，将8位有符号数人为的规定为：
所以负数的范围就是[-128,127]，这个规定(表示法)在用补码实现减法时会用到。
(如果表示为了使用加法器来实现减法(比如如果成本低、直接再做一个减法器)，也许就不需要用补码了吧)
负数怎么存储
1、人们设计了负数的表示法之后，在内存中的一个数值到底是负数还是正数，怎么区分呢。
其实不管什么数据，内存中的数值都是一串二进制。
而这串二进制代表正数还是负数、甚至是字符还是图片、亦或是一个控制状态，都只有用户自己的程序才能解释。
所以0b10000001是-127还是+129，是写程序的人自己才知道，计算机只知道这只是一串二进制编码：0b10000001。
如果我们将0b10000001从内存中读出来，就需要指定这个数值是正数还是负数，C语言中用的就是int和unsigned int等。
同样，要保存一个数值 0b10000001，可以使用 int和 unsigned int等 显式的说明这个数值是正数还是负数。也可以不说明，只要你的程序可以处理，甚至于你将0b10000001看做字符串来存储也可以，这样能减少存储空间。
只是处理的时候需要先将它转换为字符串，这一切都是程序自己处理，计算机只知道这只是一串二进制编码：0b10000001。
使用补码在加法器上实现减法
1、怎样使用补码、来让加法器做出减法的 结果 呢。
先看怎么用补码来让加法实现减法。
我们还得先知道加法的实现，下面是加法器：
这是一个8位加法器，数据部分只有低8位有效。
如果数据溢出，第9位CO就为1，CI是进位输入。
加法执行结果为：和输出 S = A + B + CI，CO=溢出状态。
加256溢出：
在8位宽度下，正数数据的范围是0-255。
如果B = 255、CI = 1，于是，S= A + B + CI 就相当于S = A + 256，结果是S = A，CO = 1。
结果有溢出，但数据部分没变。
也就是说、8位的加法器中有：A + 256 = A，超过8位部分不会体现在低8位上、只是将进位输出CO=1(第9位)而已。
也就是说 A = A + 256，加上256之后、8位加法器只是进位输出CO变成了1，具体输出数据S没有变化，这一点很重要。
将减法转换为加法：
有了上面的结果：A = A + 256 ，我们可以得到下面的结果：
A - B = (A - B) + 256 = A + ((255 - B) + 1)，其中(255 - B) + 1被规定为B的补码，结果溢出：CO=1。
所以减法" A - B "就等价于加法" A + "B的补码" "，将256拆为255 + 1，是因为我们只能处理8位以内的数值。
同时、(255 - B)=0b11111111 - B，正好就是将B按位取反(反码)，硬件上可以用异或门来实现这个操作。
这就是补码的出处。
我们看到、上面用来表示负数的表格中，负数部分正好可以由该负数的绝对值求补码得到。
所以说、负数是以绝对值的补码形式存在，并且和减法耦合起来。
这里只是数学上表明：使用补码、可以将减法转换为加法来实现。
我们举先两个例子来验证 A - B = A + (255 - B) + 1，然后再看看CPU的硬件上是如何实现的。
第一个例子：0x45 - 0x34 = 0x45 + (0xFF - 0x34) + 0x01 = 0x111 = 0x100 + 0x11。
0x100表示第9位CO=1，低8位等于0x11,，正好等于0x45 - 0x34。
这里留意：0x45 > 0x34，那么0x45 - 0x34使用补码运算、可以得到正确的结果0x11，但进位输出CO=1。
第二个例子：0x34- 0x45 = 0x34 + (0xFF - 0x45) + 0x01 = 0xEF = 0x000 + 0xEF。
0x000表示第9位CO=0，低8位等于0xEF = 0b11101111、bit7=1、说明是负数，这就是我们在上面先将负数的原因。
我们需要查阅上面表示负数的表格，得到0b11101111这个负数的具体值为-17 = -0x11，正好等于0x34 - 0x45。
这里留意：0x34 < 0x45，那么0x34 - 0x45使用补码运算，也可以得到正确的结果-0x11，但进位输出CO=0。
也就是说、对于A - B，使用补码与加法来实现的减法，确实可以得到正确的数值。
同时如果A > B，结果为正数，CO=1；如果A < B，结果为负数(有借位)，CO=0。
结果的正负号正好和CO的数值相反，我们可以将CO取反后、用来表示结果的正负。
同时CO取反后也正好表示结果是否有借位。
这个借位也正好表明：执行减法后、CO就是判断两个数的大小的依据，可以用来实现条件跳转。
加减法器
这是一个8位加减法器，可以执行加法和减法。
求补器实现的其实只有取反：
同时、加法器的进位输入端CI=SBU=1，在执行加法过程中会将这个1加进去实现"反码+1"，最终得到补码。
这就是补码的硬件实现。
CO经过左下角的异或门取反(在SBU=1时被取反)来得到借位信号。
而在加法过程中，SUB=0，B的按位取反和CO的取反都不会被执行，这就保持了加法的输入和结果。
这就在硬件上实现了减法：S = A - B = A + "B的补码"，CO取反后表示借位，同时还不影响加法的结果和加法的进位CO。
所以说、这个结构就是加减法器。
因此、我们看到了补码的来源、和补码在负数表示和减法实现中的作用。
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6种负数的加减运算
下面举例说明以下6种负数参与的加减法、都可以在补码下、通过加法器实现：
1、无符号数 - 无符号数
2、无符号数 - 负数(有符号数)
3、无符号数 + 负数(有符号数)
4、(有符号数)负数 - 无符号数
5、负数(有符号数) + 负数(有符号数)
6、负数(有符号数) - 负数(有符号数)
重点在于：执行sub(减法)时、会对减数执行求补码操作，而add(加法)则不需要。
留意到有符号数和无符号数进行运算得到的进位和借位，目前只理解两个无符号数之间的加减法的进位和借位，
有负数(有符号数)参与的运算、还不理解 进位和借位 意义。
--question-01
1、 无符号数 - 无符号数
uint8_t a = 4; uint8_t b = 3; a - b = 4 - (3); --sub指令 过程如下： 内存中的4 = 00000100 内存中的3 = 00000011 3取反 = 11111100 再加1 = 11111101 与4相加 + 00000100 结果 = 1 00000001 = 0x01，借位 = !bit9 = !1 = 0，即无借位
2、 无符号数 - 负数(有符号数)
uint8_t a = 4; int8_t b = -3; a - b = 4 - (-3); --sub指令 过程如下： 内存中的 4 = 00000100 内存中的-3 = 11111101 -3取反 = 00000010 再加1 = 00000011 与4相加 + 00000100 结果 = 0 00000111 = 7，借位 = !bit9 = !0 = 1，即有借位
3、 无符号数 + 负数(有符号数)
uint8_t a = 4; int8_t b = -3; a + b = 4 + (-3); --add指令 过程如下： 内存中的 4 = 00000100 内存中的-3 = 11111101 两者相加 = 1 00000001 = 0x01，进位 = bit9 = 1，即有进位
4、 (有符号数)负数 - 无符号数
uint8_t a = 4; int8_t b = -3; b - a = (-3) - 4; --sub指令 过程如下： 内存中的-3 = 11111101 内存中的 4 = 00000100 4取反 = 11111011 再加1 = 11111100 与-3相加 + 11111101 结果 = 1 11111001 = -7，借位 = !bit9 = !1 = 0，即无借位
5、 负数(有符号数) + 负数(有符号数)
int8_t a = -4; int8_t b = -3; b + a = (-3) + (-4); --add指令 过程如下： 内存中的-4 = 11111100 内存中的-3 = 11111101 相加 = 1 11111001 = -7，借位 = bit9 = 1，即有进位
6、 负数(有符号数) - 负数(有符号数)
int8_t a = -4; int8_t b = -3; b - a = (-3) - (-4); --sub指令 过程如下： 内存中的-3 = 11111101 内存中的-4 = 11111100 -4取反 = 00000011 再加1 = 00000100 与-3相加 + 11111101 结果 = 1 00000001 = 0x01，借位 = !bit9 = !1 = 0，即无借位
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16位加减法
1、有了上面的基础、现在可以讨论16位的加减法了，其实主要是16位减法的讨论。
16位加法
1、如果没有溢出：例如0x1234 + 0x2345。
我们先用8位加法器完成低8位的运算(CI = 0)：0x34 + 0x45 +CI = 0x79，CO=0。
将0x79存放到结果的低8位，并将进位CO=0在状态寄存器STATUS中的C位上保存下来。
CPU中都有一个状态寄存器STATUS，里面保存着进位C和借位S等数据。
再用8位加法器完成高8位的运算，并将低8位的进位CO放入CI(CI = CO= 0)：0x12 + 0x23 + CI = 0x35，CO=0。
最后将0x35存放到结果的高8位。
结果0x3579正式0x1234 + 0x2345的正确结果，进位CO=0。
2、如果有溢出：例如0x98AC + 0xC061。
我们先用8位加法器完成低8位的运算(CI = 0)：0xAC + 0x61 + CI = 0x10D = 0x100 + 0x0D，CO=1。
我们将0x0D存放到结果的低8位，并将进位CO=1在状态寄存器STATUS中的C位上保存下来。
再用8位加法器完成高8位的运算，并将低8位的进位CO输入CI (CI = CO= 1)：0x98 + 0xC0 + CI = 0x159 = 0x100 + 0x59，
CO=1，最后将0x59存放到结果的高8位，结果有溢出CO=1。
结果 0x590D正式 0x98AC + 0xC061的正确结果， 进位CO=1。这个结果中：16位范围内的结果是对的，至于要不要处理进位，程序需要自己决定。
3、高8位的运算需要使用到进位CO，而低8位的运算不需要使用进位CO。
这个差异导致加法指令有两种：不带进位的加法ADD、和带进位的加法ADDC。
它们的区别就是对于CO部分的控制信号不同：是否产生控制CI=CO的控制信号。
在汇编上、使用8位加法器(8位单片机等)实现16位加法的代码，就是第1次使用ADD指令完成两个低8位的相加，
第2次使用ADDC指令完成两个高8位和CO的相加。
4、32位的加法、当然可以按照16位的实现方法、依葫芦画瓢来实现。
16位减法
1、如果没有借位：例如0x2345 - 0x1234 = 0x2345 + "0x1234的补码" = 0x2345 + "0x1234的反码" + 1。
我们先用8位加法器完成低8位的运算(CI = SUB = 1)：
0x45 - 0x34 = 0x45 + "0x34的反码" +CI = 0x45 + 0xCB +1 = 0x111 = 0x100 + 0x11，CO=1。
将0x79存放到结果的低8位，并将进位CO=1在状态寄存器STATUS中的S位保存下来，借位S=!CO=0，表示没有借位。
再用8位加法器完成高8位的运算(CI = SUB = 1)(借位先不处理)：
0x23 - 0x12 = 0x23 + "0x12的反码" + CI = 0x23 + 0xED + 1 = 0x111 = 0x100 + 0x11，CO=1。
最后将0x35存放到结果的高8位，借位S=!CO=0。
说明借位S=0的时候、不需要将借位纳入运算中。
2、如果有借位：例如0x1234 - 0x2345 = 0x1234 - "0x2345的反码" + 1。
我们先用8位加法器完成低8位的运算(CI = SUB = 1)：
0x34 - 0x45 = 0x34 + "0x45的反码" +CI = 0x34 + 0xBA +1 = 0xEF，CO=0，0xEF是负数-0x6F。
将0xEF存放到结果的低8位，并将进位CO=0在状态寄存器STATUS中的S位保存下来，借位S=!CO=1，表示有借位。
再用8位加法器完成高8位的运算(CI = SUB = 1)(借位先不处理)：
0x12 - 0x23 = 0x12 + "0x23的反码" + CI = 0x12 + 0xDC + 1 = 0xEF，CO=0。
最后将0x35存放到结果的高8位，借位S=!CO=1。
但0x1234 - 0x2345正确的结果应是-0x1111，对应的补码是0xEEEF。
所以高8位需要再减去借位S=1：0xEF - 1 = 0xEE，这个操作可以使用CPU中的减1模块来实现。
这个调用减1模块的实现、就可以通过在带借位减法指令SBB中增加响应的控制信号来实现。
(具体实现还不清楚、这是我自己想的实现方式)。
普通的减法指令SUB的控制信号中、就没有用于实现减1操作的控制信号。
最后完成了减1运算的结果是0xEEEF(补码)，这个数值存放到内存中，表示一个负数(-0x1111)。
3、32位的加法过程同样可以拆分为4个8位来实现。
汇编上就是、第一次使用普通减法SUB，后三次使用带借位减法SBB。
4、小结
一般的CPU内部只有一个加法器，在这个加法器的基础上增加一个求补器得到减法器。
乘法用多次加法或向左移位来实现，除法用多次减法或向右移位来实现。
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