大数据：Spark mlib(一) KMeans聚类算法源码分析

1. 聚类

1.1 什么是聚类？

所谓聚类问题，就是给定一个元素集合D，其中每个元素具有n个可观察属性，使用算法将集合D划分成k个子集，要求每个子集内部的元素之间相异度尽可能低，而不同子集的元素相异度尽可能高，其中每个子集叫做一个簇。

1.2 KMeans 聚类算法

K-Means聚类算法主要分为如下几个步骤：

1. 从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心
2. 分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇
3. 根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数
4. 将D中全部元素按照新的中心重新聚类。 
5. 重复第4步，直到聚类结果不再变化。 

1.2.1 什么是相异度

设 X={x1,x2.....,xn}，Y={y1,y2......yn}其中X，Y是两个元素项，各自具有n个可度量特征属性

X和Y的相异度定义为： d(X,Y)=f(X,Y)->R，其中R为实数域，也就是两个元素的相异度。

1.2.2 相异度的算法

因为每个纬度的数字都是无方向意义的标度变量，可以通过距离来标示相异度

常见的几个距离计算公式：

欧几里得距离：  

曼哈顿距离：

闵可夫斯基距离：

1.2.3 数据的规格化

在计算距离的时候，会发现取值范围大的属性对距离的影响高于取值范围小的属性，为了解决这个问题，一般要对属性值进行规格化。

规格化就是将各个属性值按比例映射到相同的取值区间，这样是为了平衡各个属性对距离的影响。

最典型的规格化就是数据的归一化：将各个属性均映射到[0,1]区间

映射公式为： 其中max(ai)和min(ai)表示所有元素项中第i个属性的最大值和最小值

2. Spark Kmeans的实现

2.1 Kmeans 初始化的几个参数

class KMeans private (
    private var k: Int,
    private var maxIterations: Int,
    private var initializationMode: String,
    private var initializationSteps: Int,
    private var epsilon: Double,
    private var seed: Long) extends Serializable 

参数	定义
K	聚的总类
maxIterations	迭代的次数
initializationMode	有 random 和 k-means||两种
initializationSteps	初始化的步长
epsilon	最小中心距离的筏值
seed	随机数的种子

2.2 步骤1:Kmeans 的初始化中心的选择

Kmeans 在数据集初始化的时候中选K个中心点有两种算法

• 随机选择：依据给的种子seed，随机生成K个随机中心点
• k-means||：默认的算法

1.  随机生成一个中心点，基于这个中心点，找出一批距离这个中心点较远的点作为集合（分布式查找）
2.  以这些找到的点的集合为新的中心点，依据initializationSteps作为重复查找步骤1，2的次数（分布式查找）
3.  如果找到的这些点的数量小于k，那么就以这些点为中心点
4.  不如2步骤找到的这些点大于k，那么将基于这些点作为样本进行k-means++的中心点查找，找到K个中心点。k-means++的查找是在有限的点上查找(driver端的本地权重查找)

if (initializationMode == KMeans.RANDOM) {
          initRandom(data)
        } else {
          initKMeansParallel(data)
        }

2.3  步骤2: 计算每个点的特征向量的norm

// Compute squared norms and cache them.
    val norms = data.map(Vectors.norm(_, 2.0))
    norms.persist()

我们来看一下norm的算法

else if (p == 2) {
      var sum = 0.0
      var i = 0
      while (i < size) {
        sum += values(i) * values(i)
        i += 1
      }
      math.sqrt(sum)
    

假如:一个点的A(a1,b1) 那么norm的计算就是 sqrt(a1^2+a2^2)，这也是 向量的L2范数

2.4 步骤3：计算每个点距离其他点的距离

在Spark使用的距离算法是欧式距离算法，我们先来看这个距离算法：对两个点 x(x1,x2....xn)和y(y1,y2....yn)

将方程式解开

sqrt(x1^2+x2^2+x3^2+.....+xn^2 + y1^2+y2^2+...+yn^2 -2(x1y1+x2*y2.....+xn*yn))

对x1^2+x2^2+x3^2+.....+xn^2 这部分可以提前算，但是-2(x1y1+x2*y2.....+xn*yn))这部分的计算是需要时时计算的

2.4.1 解开欧式距离计算需要考虑精度

Spark中精度的计算公式:

 val sumSquaredNorm = norm1 * norm1 + norm2 * norm2
    val normDiff = norm1 - norm2
 val precisionBound1 = 2.0 * EPSILON * sumSquaredNorm / (normDiff * normDiff + EPSILON)
if (precisionBound1 < precision) {
      sqDist = sumSquaredNorm - 2.0 * dot(v1, v2)
    }

如果在精度(precision: Double = 1e-6)满足条件的情况下，欧式距离sqDist = sumSquaredNorm - 2.0 * v1.dot(v2)，sumSquaredNorm即为 ，2.0 * v1.dot(v2)即为

如果精度不满足要求，则进行原始的距离计算公式了 即调用Vectors.sqdist(v1, v2)。

2.4.2  快速算法lowerBoundOfSqDist

在这种情况下，Spark实现了一个快速算法

我们以两个纬度作为例子，假如两个点  x(a1,b1)  y(a2,b2)

算法 lowerBoundOfSqDist：

我们分别展开欧式距离和这种距离算法

可以简单的证明算法 lowerBoundOfSqDist小于欧式距离，

• 当lowerBoundOfSqDist大于bestdistance，那么可以推导欧式距离也大于bestdistance，不需要计算欧式距离
• 当lowerBoundOfSqDist小于bestdistance，需要继续计算欧式距离来保证正确性
  

lowerBoundOfSqDist算法的优势比较明显，  sqrt(a1^2+a2^2) 就是前面计算的每个点的norm值

lowerBoundOfSqDist=(norm1-norm2)*(norm1-norm2)

private[mllib] def findClosest(
      centers: TraversableOnce[VectorWithNorm],
      point: VectorWithNorm): (Int, Double) = {
    var bestDistance = Double.PositiveInfinity
    var bestIndex = 0
    var i = 0
    centers.foreach { center =>
      // Since `\|a - b\| \geq |\|a\| - \|b\||`, we can use this lower bound to avoid unnecessary
      // distance computation.
      var lowerBoundOfSqDist = center.norm - point.norm
      lowerBoundOfSqDist = lowerBoundOfSqDist * lowerBoundOfSqDist
      if (lowerBoundOfSqDist < bestDistance) {
        val distance: Double = fastSquaredDistance(center, point)
        if (distance < bestDistance) {
          bestDistance = distance
          bestIndex = i
        }
      }
      i += 1
    }
    (bestIndex, bestDistance)
  }

2.4.3 加权欧式距离和lowerBoundOfSqDist

在有些应用场景可能会存在加权的情况，加权欧式距离：

w1,w2....wp 就是每个属性的权重

同样的 lowerBoundOfSqDist算法也需要加权：

(sqrt(W1Xi1^2+W2Xi2^2+....+WpXip^2)-sqrt(W1Xj1^2+W2Xj2^2+....+WpXjp^2))^2

同样也能证明加权的 lowerBoundOfSqDist也是小于加权欧式距离

2.5 步骤4: 在聚过的簇中重新定义中心点

在已经聚过的簇中，使用所有点的平均值作为新的聚类中心

  totalContribs.foreach { case (j, (sum, count)) =>
        scal(1.0 / count, sum)
        val newCenter = new VectorWithNorm(sum)
        if (converged && KMeans.fastSquaredDistance(newCenter, centers(j)) > epsilon * epsilon) {
          converged = false
        }
        centers(j) = newCenter
      }

重复步骤1-步骤4，直到迭代次数达到maxIterations初始化的参数为止

注意：

在我们前面的文章中，Spark做了一些算法的优化而这些优化是基于欧式距离的，Spark mllib里提供的Kmeans算法不支持其它的距离算法。

3. Kmeans的训练模型

Kmeans本身也提供了训练模型，模型的目的为了对新输入的向量进行判定到哪个类别，聚类的模型最终的目的是为了分类。

@Since("0.8.0")
class KMeansModel @Since("1.1.0") (@Since("1.0.0") val clusterCenters: Array[Vector])
  extends Saveable with Serializable with PMMLExportable {

  /**
   * A Java-friendly constructor that takes an Iterable of Vectors.
   */
  @Since("1.4.0")
  def this(centers: java.lang.Iterable[Vector]) = this(centers.asScala.toArray)

  /**
   * Total number of clusters.
   */
  @Since("0.8.0")
  def k: Int = clusterCenters.length

  /**
   * Returns the cluster index that a given point belongs to.
   */
  @Since("0.8.0")
  def predict(point: Vector): Int = {
    KMeans.findClosest(clusterCentersWithNorm, new VectorWithNorm(point))._1
  }

  /**
   * Maps given points to their cluster indices.
   */
  @Since("1.0.0")
  def predict(points: RDD[Vector]): RDD[Int] = {
    val centersWithNorm = clusterCentersWithNorm
    val bcCentersWithNorm = points.context.broadcast(centersWithNorm)
    points.map(p => KMeans.findClosest(bcCentersWithNorm.value, new VectorWithNorm(p))._1)
  }

  /**
   * Maps given points to their cluster indices.
   */
  @Since("1.0.0")
  def predict(points: JavaRDD[Vector]): JavaRDD[java.lang.Integer] =
    predict(points.rdd).toJavaRDD().asInstanceOf[JavaRDD[java.lang.Integer]]

  /**
   * Return the K-means cost (sum of squared distances of points to their nearest center) for this
   * model on the given data.
   */
  @Since("0.8.0")
  def computeCost(data: RDD[Vector]): Double = {
    val centersWithNorm = clusterCentersWithNorm
    val bcCentersWithNorm = data.context.broadcast(centersWithNorm)
    data.map(p => KMeans.pointCost(bcCentersWithNorm.value, new VectorWithNorm(p))).sum()
  }

  private def clusterCentersWithNorm: Iterable[VectorWithNorm] =
    clusterCenters.map(new VectorWithNorm(_))

  @Since("1.4.0")
  override def save(sc: SparkContext, path: String): Unit = {
    KMeansModel.SaveLoadV1_0.save(sc, this, path)
  }

  override protected def formatVersion: String = "1.0"
}

通过KMeansModel的训练模型，predict输入的向量所距离最近的中心点

  @Since("0.8.0")
  def predict(point: Vector): Int = {
    KMeans.findClosest(clusterCentersWithNorm, new VectorWithNorm(point))._1
  }

看了熟悉的函数findClosest，那些中心点是在聚类结束创建中心点

new KMeansModel(centers.map(_.vector))

4. Spark Kmeans的评估

如何评估KMeans的聚类K的效果？可以通过computeCost函数来计算cost

  @Since("0.8.0")
  def computeCost(data: RDD[Vector]): Double = {
    val centersWithNorm = clusterCentersWithNorm
    val bcCentersWithNorm = data.context.broadcast(centersWithNorm)
    data.map(p => KMeans.pointCost(bcCentersWithNorm.value, new VectorWithNorm(p))).sum()
  }

函数的算法：

通过计算所有数据点到其最近的中心点的距离平方和 （a1-c1)^2+(a2-c2)^2 +...... 

使用不同的K，相同的迭代次数，理论上值越小，聚类效果越好，但是这是需要可解释性，如果聚类K等于总数据点，当然聚类效果最好，cost是0，但没有意义。