算法 - 隐马尔可夫模型

几个常用机器学习算法 - 隐马尔可夫模型

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先引入一个知乎上看到的例子：

假设你的手中有三个不同的骰子。 
第一个是我们平常都能见到的骰子（称其为D6），6个面，每个面（1，2，3，4，5，6）出现的概率是1/6； 
第二个有4个面（称其为D4），每个面（1，2，3，4）出现的概率是1/4； 
第三个有8个面（称其为D8），每个面（1，2，3，4，5，6，7，8）出现的概率是1/8。

现在你要开始掷骰子了。 
先从三个骰子里挑一个，挑到每一个骰子的概率都是1/3。 
接着掷骰子，得到1，2，3，4，5，6，7，8中的一个点数。 
你不停地重复上述过程，会得到一串数字，每个数字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一个。例如你得到了这么一串数字（掷了10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4

这串掷出的骰子点数叫做可见状态链。但是在隐马尔可夫模型中，我们不仅仅有这么一串可见状态链，还有一串隐含状态链。 
在这个例子里，这串隐含状态链就是你用的骰子的序列，比如隐含状态链有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8 

一般来说，HMM中说到的马尔可夫链是指隐含状态链，因为隐含状态（骰子）之间存在转换概率（transition probability）。 
在上面的例子中，D6的下一个状态是D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一个状态是D4，D6，D8的转换概率也都一样是1/3。你可以更改转换概率，那就是新的HMM了。

尽管可见状态之间没有转换概率，但是隐含状态和可见状态之间有一个概率叫做输出概率（emission probability）。 
上面的例子中，六面骰（D6）产生1的输出概率是1/6。产生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。

而最开始抽到骰子的概率，则是初始状态概率。这里初始抽到三种骰子的概率分别都为1/3.

而我们学习HMM模型，是因为当一个系统可以作为HMM被描述，那么我们就能解决以下三种问题

1）预测问题：你知道了骰子有几种（隐含状态数量），每种骰子是什么（转换概率），骰子掷出的结果（可见状态链），但你想知道每次掷出来的都是哪种骰子（隐含状态链）。

也叫做解码问题。

2）概率计算问题：你知道了骰子有几种（隐含状态数量），每种骰子是什么（转换概率），骰子掷出的结果（可见状态链），但你想知道掷出这个结果的概率。

这个问题看似意义不大，但这个问题可以帮你验证观察到的结果和已知的模型是否吻合；因为如果很多次结果都对应了比较小的概率，那么就说明你已知的模型很有可能是错的，有人偷偷把你的骰子給换了。

3）学习问题：你知道了骰子有几种（隐含状态数量），观测到了很多次掷骰子的结果（可见状态链），但你想反推出每种骰子是什么（转换概率）。

这个问题很重要，因为这是最常见的情况。很多时候我们只有可见结果，不知道HMM模型里的参数，我们需要从可见结果估计出这些参数，这是建模的一个必要步骤。

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接下来要介绍上述三个问题的解决算法，所以需要一些符号来定义问题。

隐马尔科夫模型可以用三元符号表示

λ=(A,B,π)

我们定义

A 是隐含状态转换概率矩阵， A=[aij]N×N ; 
aij 是时刻t处于状态 qi 的条件下在时刻 t+1 转移到状态 qj 的概率， aij=P(it+1=qj|it=qi) , i=1,2,…,N; j=1,2,…,N；

B 是可见状态生成概率矩阵， B=[bj(k)]N×M ； 
bj(k) 是在时刻t处于状态 qj 的条件下生成可见状态 vk 的概率， bj(k)=P(ot=vk|it=qj),k=1,2,...,M;j=1,2,...,N ；

π 是初始状态概率向量， π=(πi) ； 
πi 是时刻 t=1 处于状态 qi 的概率， πi=P(i1=qi),i=1,2,...,N ；

Q 是所有隐含状态的集合， Q={q1,q2,...,qN} , N是隐含状态数目； 
V 是所有可见状态的集合, V={v1,v2,...,vM} ， M是可见状态数目； 
I 是长度为T的隐含状态序列； 
O 是对应的可见状态序列；

从上面的定义可以看出，隐马尔科夫模型存在2个假设

• 假设隐藏的马尔科夫链在任意时刻t的隐含状态只依赖于其前一时刻的隐含状态，与其他时候的隐含状态及可见状态无关，也与时刻t无关；
• 假设任意时刻的可见状态只依赖于该时刻的马尔科夫链的隐含状态，与其他可见状态无关。

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本篇帖子整理自 
《如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型？》 
《HMM学习最佳范例四：隐马尔科夫模型》 
《统计学习算法》