lamdba算子4：布尔值和选择

Lambda算子里的布尔值和选择

原文在这里。既然Lambda算子里有了数的概念，我们想进行任意的计算就只需要两件东西了：怎么表示选择，和怎么表达重复操作。我们先聊聊怎么表示布尔值（也就是非真即假的二元集合）和选择，然后再讨论重复和递归（友情预告：人见人爱的Y Combinator终于可以出场了）。

我们一般把选择表示为if/then/else的表达式，和大多数编程语言的选择语句没有区别。丘齐数的基本模式无非是把一个数表达为一个函数。这个函数把它自己加到另外一个函数上。我们继续沿用这个模式，把true和false也表达为对自己的参数执行if-then-else操作的函数：
let TRUE = lambda x y . x
let FALSE = lambda x y . y

现在我们就可以写“if-then-else”函数了（记到哈，lambda算子理论里所有东东都是函数）。这个函数的第一个参数是一个条件表达式，第二个参数是当第一个参数为真时返回的表达式，而第三个参数自然是当第一个参数为假时返回的表达式了。相当于我们的if cond then true_expr else false_expr:
let IfThenElse = lambda cond true_expr false_expr . cond true_expr false_expr

为了我们刚定义的布尔值有用，我们还得定义一些常用的逻辑操作先：
let BoolAnd = lambda x y . x y FALSE
let BoolOr = lambda x y. x TRUE y
let BoolNot = lambda x . x FALSE TRUE

上面定义了常用的“与”，“或”，和“非”操作。我们可以稍微考查一下它们的机制。

BoolAnd TRUE FALSE （也就是 true && false)：

我们把TRUE和FALSE替换为它们的定义: BoolAnd (lambda x y . x) (lambda x y . y)
执行Alpha 替换避免混淆变量名：BoolAnd （lambda xt yt . xt) (lambda xf yf . yf)
然后把BoolAnd替换为它的定义：（lambda x y . x y FALSE）(lambda xt yt . xt) (lambda xf yf . yf)
执行Beta替换：(lambda xt yt . xt) (lambda xf yf . yf) FALSE
呵呵，再Beta一把：(lambda xf yf . yf)。

最后的结果lambda xf yf . yf就是FALSE的定义。也就是说， BoolAnd TRUE FALSE = FALSE。神奇吧？看起来只是简单的替换：变量替换，参数替换，但最后的结果确意义重大。这让我想起当年第一次读GEB时不由自主地感叹，看似简单的句法层面的操作竟然能得出迷幻般的结果。

我们再来看看 false && true, 也就是 BoolAnd FALSE TRUE。“噫，那不是和我们刚推演过的BoolAnd TRUE FALSE一样么！”。眼尖的老大们可能要问。嗯，我们知道布尔逻辑里的操作是服从交换率的，所以 a && b 等于 b && a。可惜我们在用lambda算子定义布尔操作，是不是服从交换率，需要我们证明。如果BoolAnd FALSE TRUE的结果是FALSE，我们也就证明了BoolAnd符合交换率：
定义替换：BoolAnd (lambda x y . y) (lambda x y .x)
Alpha替换: BoolAnd (lambda xf yf . yf) (lambda xt yt . xt)
替换BoolAnd的定义: (lambda x y .x y FALSE) (lambda xf yf . yf) (lambda xt yt . xt)
Beta替换: (lambda xf yf . yf) (lambda xt yt . xt) FALSE
再来Beta替换: lambda xt yt. xt, 也就是FALSE
所以说，BoolAnd FALSE TRUE = FALSE

最后，我们来看看BoolAnd TRUE TRUE:
定义替换：BoolAnd (lambda x y . x) (lambda x y . x)
Alpha替换: BoolAnd (lambda xa ya . xa) (lambda xb yb . xb)
替换BoolAnd的定义: (lambda x y . x y FALSE) (lambda xa ya . xa) (lambda xb yb . xb)
Beta替换: (lambda xa ya . xa) (lambda xb yb . xb) FALSE
再次Beta替换: (lambda xb yb .xb)，这个正是TRUE的定义
所以我们得到BoolAnd TRUE TRUE = TRUE