源点-汇点最短路径快速算法-A*算法初步

A*算法,作为启发式算法中很重要的一种,被广泛应用在最优路径求解和一些策略设计的问题中。而A*算法最为核心的部分,就在于它的一个估值函数的设计上:

f(n)=g(n)+h(n)

      其中f(n)是每个可能试探点的估值,它有两部分组成:一部分为g(n),它表示从起始搜索点到当前点的代价(通常用某结点在搜索树中的深度来表示)。另一部分,即h(n),它表示启发式搜索中最为重要的一部分,即当前结点到目标结点的估值,h(n)设计的好坏,直接影响着具有此种启发式函数的启发式算法的是否能称为A*算法。

      一种具有f(n)=g(n)+h(n)策略的启发式算法能成为A*算法的充分条件是:

1)     搜索树上存在着从起始点到终了点的最优路径。

2)     问题域是有限的。

      3)所有结点的子结点的搜索代价值>0

 

      4h(n)=<h*(n)h*(n)为实际问题的代价值)。

      当此四个条件都满足时,一个具有f(n)=g(n)+h(n)策略的启发式算法能成为A*算法,并一定能找到最优解。([1]P89给出了相关的证明)

对于一个搜索问题,显然,条件1,2,3都是很容易满足的,而

条件4)h(n)<=h*(n)是需要精心设计的,由于h*(n)显然是无法知道的,

所以,一个满足条件4)的启发策略h(n)就来的难能可贵了。不过,对于图的最优路径搜索和八数码问题,有些相关策略h(n)不仅很好理解,而且已经在理论上证明是满足条件4)的,从而为这个算法的推广起到了决定性的作用。不过h(n)距离h*(n)的呈度不能过大,否则h(n)就没有过强的区分能力,算法效率并不会很高。对一个好的h(n)的评价是:h(n)h*(n)的下界之下,并且尽量接近h*(n).

      当然,估值函数的设计也就就仅仅是f(n)=g(n)+h(n)一种,另外的估值函数“变种”如:f(n)=w*g(n)+(1-w)*h(n)f(n)=g(n)+h(n)+h(n-1)针对不同的具体问题亦会有不同的效果。

A*算法最为核心的过程,就在每次选择下一个当前搜索点时,是从所有已探知的但未搜索过点中(可能是不同层,亦可不在同一条支路上),选取f值最小的结点进行展开。而所有“已探知的但未搜索过点”可以通过一个按f值升序的队列(即优先队列)进行排列。这样,在整体的搜索过程中,只要按照类似广度优先的算法框架,从优先队列中弹出队首元素(f值),对其可能子结点计算ghf值,直到优先队列为空(无解)或找到终止点为止。

      A*算法与广度优先和深度优先的联系就在于,当g(n)=0时,该算法类似于DFS,当h(n)=0时,该算法类似于BFS,这一点,可以通过上面的A*搜索树的具体过程中将h(n)设为0或将g(n)设为0而得到。

 

      A*算法实现框架:

      重要数据解释:

      Open Table :存放所有已探知的但未搜索过点的优先队列。

      Closed Table:存在搜索过的点的数组,提取最优路径时有用。

StartNode  :起始点。

TargetNode :终止点。

C Node    :当前点。

 

      算法框架如下:

1.Init start node , add it to open table

While not reach target node && open table isunNull

      2.a) Get the head node in open table->c node

      2.b) Finding all c node’s possible child node.

      2.c) Calculate each child node’s f value.

      2.d) Remove c node from open table , add it to closedtable.

       2.e) Add all c node’s child nodes to open table in anundescend sequence.

Wend

3.Ouput Search Result

算法的实现部分参附录1(CVersion),附录2(AS2 Version)

      提取最优路径的算法并不复杂,虽然在CLOSE表中会有许多无效的搜索点,但是最优路径上各结点的下标一定是按照CLOSE表中下标的升序排列的。因此,只要在CLOSE表中,将下标从终止点向起始点移动,若CLOSE[i+1]CLOSE[i]没有关联,则剔除CLOSE[i]

 

[3A*算法在路径最优问题的交互式示例]

      路径最优问题,简单来说,就是在两个结点之间找一条最短路径。有的朋友不禁要问,这个问题不是已经有Dijkstra算法可以解决了吗?此话不假,但是不要忘了Dijkstra算法的复杂度是O(n^2),一旦结点很多并且需要实时计算的话,Dijkstra就无法满足要求了。而A*来处理这类有需要实时要求的问题则显得游刃有余。

      在路径最优问题中,用来作为启发函数关键部分的h(n)其实很容易选,那便是当前结点至最终结点的距离,这个距离既可以是Hamilton距离(|x1-x2|+|y1-y2|),亦可以是Euclid距离(直线距离)。都可以在较快的速度下达到问题的最优解。

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