求已知N个数中第k小的数

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本来今天想写的是“面试记”，八一八HR姐姐和面试官叔叔。但聊到面试难免要聊面试题，而算法题自是其重中之重。为了日后能专心地八面试官，今天就先说说这个算法。。。
本篇涉及专业知识，外行止步，发生危险概不负责。

算法与数据结构，属于IT技能中较“高雅”的一类，所谓阳春白雪、曲高和寡，往往只有大公司才对此有兴趣。而急功近利的小公司面试官只会问“会不会用Struts”之类……
其 中，数据结构比较基础些。一般开发类职位都会考考Linked List或者Hash table之类的，相信上过这门课的人都能写出来。要求更高的面试官会真正地考算法，（而不仅仅是数据结构）。算法有两种考法，一是考课本知识，主要集中 在排序、查找和二叉树相关三类算法。考查的是基础知识掌握，以及编程基本功。
另一类就是考书上没有的算法，这往往出现在对创造性较高的岗位中。想要令面试官满意的话，完全寄希望于现场发挥是很难的，最好平时有算法方面的积累。建议大家平时多逛逛百合的Algorithm版什么的……另外百度历年的笔试题也是增加积累的好素材。
最后不得不提一个出场率最高的算法，我曾经在四场面试中用上它：

问题：[Random Select]求已知N个数中第k小的数。（k<N）

先排序再取数的做法需要O(n*Logn)的复杂度，事实上此问题O(n)可解。具体做法是：按照类似快速排序算 法中的“分类”步骤，任选一个参考数，把整个数组分成左右两部分。左边部分小于参考数，右边部分大于参考数。然后根据左右部分各自包含元素的个数，计算出 要求的元素在哪个数组中。（要求的元素或者是左数组中的第k小数，或者是右数组中第[k-l]小的数。l为左数组的长度）然后递归之。
贴个伪代码：

int select(int[] arr, int lw, int hi, int k)
// lw:下标下界， hi：下标上届。
{
    if(lw==hi)
          return arr[lw];
   int q = partition(lw,hi);//调用quicksort里面的partition, q指向参考数
   int l = q-lw+1;  // l为左数组长度
   if(k==l)
           return arr[q];
   if(k<l)
           return select(arr,lw,q-1,k);
   if(k>l)
           return select(arr,q+1,hi,k-l);
}

没看懂的话也没关系，百度一下“第k小数”或者“random select问题”会有更详细的解释。

如何向面试官描述这个算法：
如果手中有纸笔，画图可以描述地更清楚。如果是电话面抓住关键词“快排”“分类”“递归”即可。
进一步，面试官会问这个算法的复杂度。此算法额外空间复杂度为O(logn)，可以进一步优化为O（1）——将递归改写为非递归即可。时间复杂度为O(n)——虽然乍看上似乎是n*Logn。平均每个数组元素被访问两次。
时间复杂度的证明是另一个关键，如果证不出来赶快百度一下啦。

下面解释为什么这个算法在面试中的应用：

首先，此问题可以推广：求数组中最小的k个数（而不是第k小的数）。答案很简单：求出第k小数之后，其左边的（k-1）个数都比它小。所以……


其次，它可以退化求中位数问题：如何在O(n)时间内求数组的中位数。
我曾在某次面试中被提了这个问题，随后面试官又推广了此问题。他问道:

如果有一个数组，对其取中位数，然后移除此元素。重复此操作k次，求这k个被移除的数。如何设计算法？

（注，当数组长度为偶数时，中位数有两种不同的定义。此处定义第[n/2]个数为中位数，而不是中间两数之平均。）
也许不可思议，此问题仍然有O(n)的解法：
可以证明：如果将数组排序，那么问题等价于求数组最中间的一段k个数。当然“最中间一段”这样的说法有些含糊，但大致上就是求下标为[n/2-k/2, n/2+k/2]这个区间上的一段数，但是在区间两端要根据n和k的奇偶性作+1或-1的调整。因此，原问题转化为：

求某个数组中第a小到第b小之间的k个数。（b>=a，k==b-a+1）

剩下的问题就很简单了：先求原数组中最小的b个数，然后在此结果中求最大的(b-a+1)个数。


最后一个推广，此算法还可以用在著名的“主元素”问题上。主元素的定义是：

如果一个数组中，有一个数出现次数达到数组长度的一半以上，则称其为数组的 主元素。

主元素问题就是：

给定一个数组，判断其是否有主元素，并求这个元素。

使用Random select算法，可以在O(n)时间内解决此问题：1 求中位数。2 检验中位数是否为主元素。
不过这样需要平均扫描每个元素3次。事实上此问题还有更巧妙的解法，可以只扫描每个元素2次。欲知解法如何，去Google上百度一下……